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Autor Tema: Problema de cálculo de variaciones  (Leído 452 veces)
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juansanro
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« : 10/03/2018, 07:29:12 am »

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme a resolver el siguiente problema:

Encontrar un mínimo del siguiente funcional:
[texx]F(y)=(\displaystyle\int_{0}^{T}{y''dt})^2[/texx]. Teniendo en cuenta las siguientes restricciones: [texx]y''(t)\geq{0}[/texx], [texx]y''(t)\leq{A}[/texx]  [texx]\forall{t\in{[0,T]}}[/texx] ;[texx]y(T)=L;y(0)=0,[/texx][texx]y'(0)=0.[/texx]

En clase solo hemos visto este tipo de problemas cuando el funcional que tenemos es la integral de alguna función, pero en este caso esta integral está al cuadrado y no sé muy bien como hacerlo.
Según tengo entendido este problema es bastante común en el cálculo de variaciones y está relacionado con la búsqueda de la aceleración óptima que permite recorrer una distancia L utilizando la menor cantidad de energía posible.

Gracias de antemano.
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« Respuesta #1 : 10/03/2018, 10:28:11 am »

Elevar al cuadrado no afecta a los máximos o los mínimos en este contexto, al menos si la integral es positiva, por tanto puedes considerar la ecuación [texx]G(y):=\int_0^t y''(t)\,\mathrm dt[/texx] y luego, entre las soluciones que encuentres, ver cuál minimiza a [texx]F[/texx].
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juansanro
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« Respuesta #2 : 10/03/2018, 10:40:49 am »

Elevar al cuadrado no afecta a los máximos o los mínimos en este contexto, al menos si la integral es positiva, por tanto puedes considerar la ecuación [texx]G(y):=\int_0^t y''(t)\,\mathrm dt[/texx] y luego, entre las soluciones que encuentres, ver cuál minimiza a [texx]F[/texx].

Gracias por tu respuesta. Una vez que aplico lo que me cabas de decir encuentro otro problema y es que alguna de las restricciones que tengo vienen dadas con desigualdades; y no sé trabajar con ellas.
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« Respuesta #3 : 10/03/2018, 11:07:01 am »

Elevar al cuadrado no afecta a los máximos o los mínimos en este contexto, al menos si la integral es positiva, por tanto puedes considerar la ecuación [texx]G(y):=\int_0^t y''(t)\,\mathrm dt[/texx] y luego, entre las soluciones que encuentres, ver cuál minimiza a [texx]F[/texx].

Gracias por tu respuesta. Una vez que aplico lo que me cabas de decir encuentro otro problema y es que alguna de las restricciones que tengo vienen dadas con desigualdades; y no sé trabajar con ellas.

Supongo que en principio deberías mirar que funciones minimizan tu problema con las otras restricciones y luego de entre ellas buscar cuales cumplen que [texx]A\ge y''(t)\ge 0[/texx] para [texx]t\in[0,T][/texx]. Pero la verdad es que no me he encontrado un ejercicio de este tipo antes así que no sé si eso te servirá.
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juansanro
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« Respuesta #4 : 11/03/2018, 06:17:24 am »

Elevar al cuadrado no afecta a los máximos o los mínimos en este contexto, al menos si la integral es positiva, por tanto puedes considerar la ecuación [texx]G(y):=\int_0^t y''(t)\,\mathrm dt[/texx] y luego, entre las soluciones que encuentres, ver cuál minimiza a [texx]F[/texx].

Gracias por tu respuesta. Una vez que aplico lo que me cabas de decir encuentro otro problema y es que alguna de las restricciones que tengo vienen dadas con desigualdades; y no sé trabajar con ellas.

Supongo que en principio deberías mirar que funciones minimizan tu problema con las otras restricciones y luego de entre ellas buscar cuales cumplen que [texx]A\ge y''(t)\ge 0[/texx] para [texx]t\in[0,T][/texx]. Pero la verdad es que no me he encontrado un ejercicio de este tipo antes así que no sé si eso te servirá.


He intentado lo que me has comentado pero sigo sin poder solucionarlo, al hacer la Ecuación de Euler Lagrange no me sale nada
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« Respuesta #5 : 11/03/2018, 06:48:52 am »

He intentado lo que me has comentado pero sigo sin poder solucionarlo, al hacer la Ecuación de Euler Lagrange no me sale nada

Ni idea. El otro día miré por encima en los libros que tengo de cálculo de variaciones y no encontré nada semejante, me refiero en concreto a tener la limitación de [texx]0\le f''(t)\le A[/texx] para algún [texx]A[/texx]. Pregúntale a tu profesor, y luego pon aquí la respuesta, así me entero yo también de cómo se resolvía.
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robinlambada
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« Respuesta #6 : 11/03/2018, 08:33:51 am »

Hola.
He intentado lo que me has comentado pero sigo sin poder solucionarlo, al hacer la Ecuación de Euler Lagrange no me sale nada
No podemos aplicar la ecuación de Euler-Lagrange, pues estas son válidas para funcionales que dependen a lo sumo de la 1ª derivada. [texx]L(x,y,y')[/texx] y no derivadas sucesivas como es tu caso.

Para ello en este enlace "Apuntes de Métodos variacionales de A. Cañada" (tienes en la página 33 como es la condición de extremal de la funcional para derivadas superiores: la ecuación 2.70). Pero no te sirve para nada pues los dos miembros de la ecuación se anulan sale 0=0)

Al ser [texx]y''\geq{}0[/texx] y [texx]t\in{[0.T]}[/texx] , el integrando es mayor o igual a cero y la integral será mayor o igual a cero.
Una posible solución que podría ser es la trivial [texx]y''=0[/texx]. pero con las condiciones iniciales  [texx]y'(t)=cte=y'(0)=0\Leftrightarrow{}[/texx][texx]y(t)=cte[/texx],   pero se contradice por que [texx]y(0)\neq{}y(T)
[/texx].:¿eh?:
Pregúntale a tu profesor, y luego pon aquí la respuesta, así me entero yo también de cómo se resolvía.


Me interesa mucho a mí también que solución te da tu profesor, te pido que si la conoces la compartas con nosotros.

Muchas gracias.

P.D.: A no ser que los extremos no sean fijos
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« Respuesta #7 : 11/03/2018, 10:45:49 am »

Hay un texto sobre problemas variacionales con desigualdades como condicionantes:
https://ac.els-cdn.com/0022247X62900562/1-s2.0-0022247X62900562-main.pdf?_tid=b12f13d9-af23-4f5a-9d17-48fa0f98f056&acdnat=1520775871_878febeb3a1a12738e400e7fd5ab459f

y en este otro texto se trata el mismo tema (básicamente se define una variable auxiliar para escribir la desigualdad como una igualdad):

http://www.math.utah.edu/~cherk/teach/12calcvar/constrained.pdf

Y en el siguiente enlace se habla de un problema muy parecido al que plantea el OP

https://math.stackexchange.com/questions/1613613/calculus-of-variation-with-inequality-constraints

Y en la wiki inglesa tienen las ecuaciones de Euler-Lagrange generalizadas a varios casos, entre ellos considerando derivadas de mayor grado que 1, como es este caso:

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation
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