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Autor Tema: Prueba \(\;\;\frac{1}{g}\;\;\) es continua si \(\;\;g\;\;\) es continua.  (Leído 561 veces)
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« : 12/03/2018, 04:18:29 pm »


Sea    [texx]g[/texx]    una función real definida en    [texx]A[/texx].    Prueba que se verifica que:


   si    [texx]g(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{A}[/texx],    la función    [texx]\displaystyle\frac{1}{g}[/texx]    es continua en todo punto de    [texx]A[/texx]    en el que    [texx]g[/texx]

   sea continua.


Es decir, prueba que la función cociente de dos funciones continuas cuyo denominador no se anula

nunca, es una función continua.



P.D.: Se ha de utilizar el método    [texx]\epsilon-\delta[/texx]    para la resolución del ejercicio.
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« Respuesta #1 : 12/03/2018, 04:59:32 pm »

A ver si es correcto.

Tenemos que por hipótesis    [texx]g[/texx]    es continua, así que por hipótesis es



\begin{equation}\cancel{\forall{\;\epsilon_1}>0.\;\exists{\;\delta_1>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_1\Rightarrow{\big|g(x)-g(a)\big|<\epsilon_1}},\end{equation}


deberemos probar que ello implica que

\begin{equation}\cancel{\forall{\;\epsilon_2}>0.\;\exists{\;\delta_2>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_2\Rightarrow{\Bigg|\displaystyle\frac{1}{g(x)}-\displaystyle\frac{1}{g(a)}\Bigg|<\epsilon_2}},\end{equation}


tomando    [texx]\cancel{\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}}[/texx]     podemos hacer


\begin{equation}\cancel{\forall{\;\epsilon_2}>0.\;\exists{\;\delta>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta\Rightarrow{\Bigg|\displaystyle\frac{1}{g(x)}-\displaystyle\frac{1}{g(a)}\Bigg|<\epsilon_2}},\end{equation}


operando en (3),


\begin{align*}\cancel{\Bigg|\displaystyle\frac{g(a)-g(x)}{g(x)\cdot{g(a)}}\Bigg|}&=&\cancel{\displaystyle\frac{\big|g(a)-g(x)\big|}{\big|g(x)\cdot{g(a)}\big|}<\big|g(a)-g(x)\big|\leq{\big|g(x)-g(a)\big|}<\epsilon_1}\end{align*}


Saludos.


CORREGIDO.

No hay nada aprovechable. Metedura de pata como de costumbre.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 12/03/2018, 05:23:04 pm »

A ver si es correcto.

Tenemos que por hipótesis    [texx]g[/texx]    es continua, así que por hipótesis es


\begin{equation}\forall{\;\epsilon_1}>0.\;\exists{\;\delta_1>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_1\Rightarrow{\big|g(x)-g(a)\big|<\epsilon_1},\end{equation}


deberemos probar que ello implica que

\begin{equation}\forall{\;\epsilon_2}>0.\;\exists{\;\delta_2>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_2\Rightarrow{\Bigg|\displaystyle\frac{1}{g(x)}-\displaystyle\frac{1}{g(a)}\Bigg|<\epsilon_2},\end{equation}


tomando    [texx]\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]     podemos hacer


\begin{equation}\forall{\;\epsilon_2}>0.\;\exists{\;\delta>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta\Rightarrow{\Bigg|\displaystyle\frac{1}{g(x)}-\displaystyle\frac{1}{g(a)}\Bigg|<\epsilon_2},\end{equation}


operando en (3),


\begin{align*}\Bigg|\displaystyle\frac{g(a)-g(x)}{g(x)\cdot{g(a)}}\Bigg|&=&\displaystyle\frac{\big|g(a)-g(x)\big|}{\big|g(x)\cdot{g(a)}\big|}<\big|g(a)-g(x)\big|\leq{\big|g(x)-g(a)\big|}<\epsilon_1\end{align*}


Saludos.

Pero esa desigualdad es incorrecta, la del '<'. Debe ser [texx]g(x)\neq{}0, g(a)\neq{}0[/texx], pero pueden ser muy pequeños en valor absoluto. Por otra parte, aunque ya no ha lugar, pero no se porque a continuación pones [texx]\leq{}[/texx], podría ir un '=' sin más.

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
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« Respuesta #3 : 12/03/2018, 05:26:14 pm »

A ver si es correcto.

Tenemos que por hipótesis    [texx]g[/texx]    es continua, así que por hipótesis es


\begin{equation}\forall{\;\epsilon_1}>0.\;\exists{\;\delta_1>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_1\Rightarrow{\big|g(x)-g(a)\big|<\epsilon_1},\end{equation}


deberemos probar que ello implica que

\begin{equation}\forall{\;\epsilon_2}>0.\;\exists{\;\delta_2>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta_2\Rightarrow{\Bigg|\displaystyle\frac{1}{g(x)}-\displaystyle\frac{1}{g(a)}\Bigg|<\epsilon_2},\end{equation}


tomando    [texx]\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]     podemos hacer


\begin{equation}\forall{\;\epsilon_2}>0.\;\exists{\;\delta>0}:\;x\in{A}\wedge|x-a|<\delta\Rightarrow{\Bigg|\displaystyle\frac{1}{g(x)}-\displaystyle\frac{1}{g(a)}\Bigg|<\epsilon_2},\end{equation}


operando en (3),


\begin{align*}\Bigg|\displaystyle\frac{g(a)-g(x)}{g(x)\cdot{g(a)}}\Bigg|&=&\displaystyle\frac{\big|g(a)-g(x)\big|}{\big|g(x)\cdot{g(a)}\big|}\color{red}\leq{}\color{black}\big|g(a)-g(x)\big|\color{red}=\color{black}{\big|g(x)-g(a)\big|}<\epsilon_1\end{align*}


Saludos.

Pero esa desigualdad es incorrecta, la del '<'. Debe ser [texx]g(x)\neq{}0, g(a)\neq{}0[/texx], pero pueden ser muy pequeños en valor absoluto. Por otra parte, aunque ya no ha lugar, pero no se porque a continuación pones [texx]\leq{}[/texx], podría ir un '=' sin más.

Saludos,


Entonces así ¿sería correcto? Gracias.





EDITADO.

Ostras!
    :avergonzado: :avergonzado: :avergonzado: :avergonzado:   No, no lo sería.
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« Respuesta #4 : 12/03/2018, 05:51:32 pm »

Obviando la posdata es fácil.

Usando el

Corolario.

Si el producto de dos funciones es continuo y una de ellas es continua y no se anula, la otra función es continua.




[texx]g(x)\cdot{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}=1[/texx]    para    [texx]x\in{A}[/texx],    constante y por lo tanto continua,


Como    [texx]g[/texx]    continua, no se anula, por el corolario, ha de ser    [texx]\displaystyle\frac{1}{g}[/texx]    continua.


Muy fácil. Lo complicado es usar el método [texx]\epsilon-\delta[/texx].


Saludos.
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« Respuesta #5 : 13/03/2018, 05:57:26 am »

Hola

Obviando la posdata es fácil.

Usando el

Corolario.

Si el producto de dos funciones es continuo y una de ellas es continua y no se anula, la otra función es continua.




[texx]g(x)\cdot{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}=1[/texx]    para    [texx]x\in{A}[/texx],    constante y por lo tanto continua,

Ese corolario además tiene toda la pinta de salir de dos resultados previos: el producto de continuas es continuo y la inversa de una continua no nula es continua, que es justo lo que pretendes probar.

Para resolver lo que te piden la clave es acotar por ejemplo así:

[texx]\left|\dfrac{1}{g(x)}-\dfrac{1}{g(a)}\right|=\dfrac{|g(x)-g(a)|}{|g(x)g(a)|}[/texx]

Ahora como [texx]g(a)\neq 0[/texx] y [texx]g[/texx] es continua en [texx]a[/texx] existe un [texx]\delta_1>0[/texx] tal que si:

[texx]|x-a|<\delta_1[/texx] entonces [texx]|g(x)-g(a)|<|g(a)|/2[/texx]; en particular [texx]|g(x)|>|g(a)|/2[/texx]

Por tanto si [texx]|x-a|<\delta_1[/texx]

[texx]\dfrac{|g(x)-g(a)|}{|g(x)g(a)|}<\dfrac{2|g(x)-g(a)|}{|g(a)|^2}[/texx]

ahora necesitas garantizar que:

[texx]\dfrac{2|g(x)-g(a)|}{|g(a)|^2}<\epsilon[/texx]

es decir que:

[texx]|g(x)-g(a)|<\dfrac{\epsilon |g(a)|^2}{2}[/texx]

Hazlo volviendo a aplicar la continuidad de [texx]g(x)[/texx] en [texx]a[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #6 : 14/03/2018, 03:13:59 pm »

Hola

Obviando la posdata es fácil.

Usando el

Corolario.

Si el producto de dos funciones es continuo y una de ellas es continua y no se anula, la otra función es continua.




[texx]g(x)\cdot{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}=1[/texx]    para    [texx]x\in{A}[/texx],    constante y por lo tanto continua,

Ese corolario además tiene toda la pinta de salir de dos resultados previos: el producto de continuas es continuo y la inversa de una continua no nula es continua, que es justo lo que pretendes probar.

Para resolver lo que te piden la clave es acotar por ejemplo así:

[texx]\left|\dfrac{1}{g(x)}-\dfrac{1}{g(a)}\right|=\dfrac{|g(x)-g(a)|}{|g(x)g(a)|}[/texx]

Ahora como [texx]g(a)\neq 0[/texx] y [texx]g[/texx] es continua en [texx]a[/texx] existe un [texx]\delta_1>0[/texx] tal que si:

[texx]|x-a|<\delta_1[/texx] entonces [texx]|g(x)-g(a)|<|g(a)|/2[/texx]; en particular [texx]|g(x)|>|g(a)|/2[/texx]

Por tanto si [texx]|x-a|<\delta_1[/texx]

[texx]\dfrac{|g(x)-g(a)|}{|g(x)g(a)|}<\dfrac{2|g(x)-g(a)|}{|g(a)|^2}[/texx]

ahora necesitas garantizar que:

[texx]\dfrac{2|g(x)-g(a)|}{|g(a)|^2}<\epsilon[/texx]

es decir que:

[texx]|g(x)-g(a)|<\dfrac{\epsilon |g(a)|^2}{2}[/texx]

Hazlo volviendo a aplicar la continuidad de [texx]g(x)[/texx] en [texx]a[/texx].

Saludos.

Está garantizado por hipótesis. Si    [texx]g[/texx]    es continua verifica la condición de continuidad para todo     [texx]\epsilon>0[/texx],    en

particular para    [texx]\epsilon=\dfrac{\epsilon |g(a)|^2}{2}>0[/texx]    para algún    [texx]\delta_2[/texx],   bastará tomar    [texx]\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}[/texx]. 
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« Respuesta #7 : 14/03/2018, 03:19:41 pm »

Hola

 Bien.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 14/03/2018, 04:16:38 pm »

Hola

 Bien.

Saludos.

No. Bien lo has hecho tu. Yo sólo he leído y comprendido, al menos un poco. Se me hace duro lo de acotar con tanta variable y no acabo de entender porqué. No sé si es por no entender algún concepto, por falta de capacidad, por falta de experiencia...

Saludos y muchas gracias.

EDITO.

Ni de casualidad se me hubiese ocurrido considerar    [texx]\big|g(x)\big|>\displaystyle\frac{\big|g(a)\big|}{2}[/texx]   ya que para el caso que nos ocupa, se supone

que    [texx]g(x)[/texx]    y    [texx]g(a)[/texx]    son muy próximos entre si al considerar     [texx]\epsilon[/texx]     infinitesimal.
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« Respuesta #9 : 15/03/2018, 07:17:11 am »

Hola

EDITO.

Ni de casualidad se me hubiese ocurrido considerar    [texx]\big|g(x)\big|>\displaystyle\frac{\big|g(a)\big|}{2}[/texx]   ya que para el caso que nos ocupa, se supone

que    [texx]g(x)[/texx]    y    [texx]g(a)[/texx]    son muy próximos entre si al considerar     [texx]\epsilon[/texx]     infinitesimal.


La idea de esa acotación es la siguiente. Tenemos que garantizar que::

[texx]\left|\dfrac{1}{g(x)}-\dfrac{1}{g(a)}\right|=\dfrac{|g(x)-g(a)|}{|g(x)g(a)|}[/texx]

no supere [texx]\epsilon[/texx]. Ese [texx]g(x)[/texx] en el denominador es "peligroso" porque si [texx]g(x)[/texx] es cero (o se acerca mucho) ese cociente es muy grande lo cual nos impediría acotarlo. Entonces lo primero es controlar que ese [texx]g(x)[/texx] se aleje suficientemente del cero.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 15/03/2018, 08:13:13 am »

Hola

EDITO.

Ni de casualidad se me hubiese ocurrido considerar    [texx]\big|g(x)\big|>\displaystyle\frac{\big|g(a)\big|}{2}[/texx]   ya que para el caso que nos ocupa, se supone

que    [texx]g(x)[/texx]    y    [texx]g(a)[/texx]    son muy próximos entre si al considerar     [texx]\epsilon[/texx]     infinitesimal.


La idea de esa acotación es la siguiente. Tenemos que garantizar que::

[texx]\left|\dfrac{1}{g(x)}-\dfrac{1}{g(a)}\right|=\dfrac{|g(x)-g(a)|}{|g(x)g(a)|}[/texx]

no supere [texx]\epsilon[/texx]. Ese [texx]g(x)[/texx] en el denominador es "peligroso" porque si [texx]g(x)[/texx] es cero (o se acerca mucho) ese cociente es muy grande lo cual nos impediría acotarlo. Entonces lo primero es controlar que ese [texx]g(x)[/texx] se aleje suficientemente del cero.

Saludos.

Re thank you. Realmente útil la estrategia.
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