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Autor Tema: Convergencia de serie  (Leído 189 veces)
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morphete
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« : 20/08/2019, 11:59:00 pm »

Edit: Ya he aclarado el problema, fue un error de lectura al ser un problema escrito a mano, era [texx]a_n+1[/texx] en vez de [texx]a_{n+1}[/texx]. Por favor, ignoren el mensaje, gracias.

Parece ser que me he topado con una paradoja. Si la serie [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}[/texx] converge absolutamente, converge absolutamente [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\frac{a_n}{a_{n+1}}}[/texx]?

Yo he puesto que no, pues basta ver que para [texx]a_n=n^{-2}[/texx] no se cumple. Además, si [texx]a_n[/texx] converge absolutamente, entonces tiene que ser decreciente, es decir, [texx]\left |{a_n}\right | > \left |{a_{n+1}}\right | \Longrightarrow \frac{\left |a_n{}\right |}{\left |{a_{n+1}}\right |}>1[/texx] por lo que una serie con todos los valores mayores a 1 no puede converger.

Sin embargo, por criterio de comparación, tenemos que [texx]\lim _{n \to + \infty} \frac{\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|}{\left| a_n \right|}=1[/texx] lo que significa que ambas series tienen el mismo carácter, y por lo tanto, converge.

¿Alguien puede darme algo de luz? Muchas gracias.
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 21/08/2019, 12:30:41 am »

Hola

Creo que podemos aplicar el criterio de D'Alembert. Lo hice mal, ya lo corregí

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|}{\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|}}=\lim_{n \to{+}\infty}{\left|\dfrac{(a_{n+1})^2}{a_n\cdot a_{n+2}}\right|}[/texx]

Ah, no se ve como concluir, hay que pensarlo mejor

Creo que lo tengo

Para que la serie sea convergente     [texx]\lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}[/texx].  Debe tender a cero.
¿Puedes concluir?


Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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morphete
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« Respuesta #2 : 21/08/2019, 12:26:49 pm »

Hola

Creo que podemos aplicar el criterio de D'Alembert. Lo hice mal, ya lo corregí

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|}{\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|}}=\lim_{n \to{+}\infty}{\left|\dfrac{(a_{n+1})^2}{a_n\cdot a_{n+2}}\right|}[/texx]

Ah, no se ve como concluir, hay que pensarlo mejor

Creo que lo tengo

Para que la serie sea convergente     [texx]\lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}[/texx].  Debe tender a cero.
¿Puedes concluir?


Saludos

Hola, pido perdón, ya he aclarado el problema, fue un error de lectura al ser un problema escrito a mano, era [texx]a_n+1[/texx] en vez de [texx]a_{n+1}[/texx]. Por favor, ignoren el mensaje, gracias y saludos.
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