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Autor Tema: \(f(1000)=999\;\;\) y \(\;\;f(x)\big((f\circ{}f)(x)\big)=1.\) \(\;\;¿f(500)?\)  (Leído 323 veces)
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« : 18/03/2018, 10:55:48 am »


Sea    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    continua y tal que    [texx]f(x)\big((f\circ{f})(x)\big)=1[/texx]    para todo    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx].    Sabiendo que

[texx]f(1000)=999[/texx],    calcula    [texx]f(500)[/texx].


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« Respuesta #1 : 18/03/2018, 12:50:55 pm »

Tenemos que

[texx]f(x)\cdot{\big((f\circ{f})(x)\big)}=f(x)\cdot{\Big(f\big(f(x)\big)\Big)}=1\Rightarrow{f\big(f(x)\big)}=\displaystyle\frac{1}{f(x)}[/texx].


Podría tratarse de la función que a cada real    [texx]x[/texx]    le hace corresponder su inverso. Aún definiendo    [texx]f(0)=0[/texx]    para que no se anule, la función no sería continua en cero y por supuesto, no podría ser     [texx]f(1000)=999[/texx].


 
:¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Que misterio. Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 19/03/2018, 07:23:54 am »

Hola

Tenemos que

[texx]f(x)\cdot{\big((f\circ{f})(x)\big)}=f(x)\cdot{\Big(f\big(f(x)\big)\Big)}=1\Rightarrow{f\big(f(x)\big)}=\displaystyle\frac{1}{f(x)}[/texx].


Podría tratarse de la función que a cada real    [texx]x[/texx]    le hace corresponder su inverso. Aún definiendo    [texx]f(0)=0[/texx]    para que no se anule, la función no sería continua en cero y por supuesto, no podría ser     [texx]f(1000)=999[/texx].

Pero no tiene sentido que definas [texx]f(0)=0[/texx]. Una función cumpliendo lo que se indica no puede tomar el valor [texx]0[/texx] en ningún punto.

Lo que se deduce de la correcta cuenta que has hecho es que para todo [texx]y\in Im(f)[/texx] se cumple que:

[texx]f(y)=\dfrac{1}{y}[/texx]

Por tanto dado que [texx]f(1000)=999[/texx] se tiene que [texx]999\in Im(f)[/texx] y así [texx]f(999)=1/999[/texx]. Ahora como:

[texx]f(999)=1/999[/texx] y [texx]f(1000)=999[/texx]

y [texx]f[/texx] es continua, sabemos que recorre todos los valores intermedios, es decir, [texx](1/999,1000)\in Im(f)[/texx]. Por tanto [texx]500\in Im(f)[/texx] y así:

[texx]f(500)=\dfrac{1}{500}[/texx]

Con esto el ejercicio está resuelto.

Adicionalmente (y esto ya se sale de lo que estrictamente pide el problema) uno puede preguntarse si existe una función en esas condiciones y como sería. La respuesta es si y éste es sólo un ejemplo:

[texx]f(x)=\begin{cases}{ 999}&\text{si}& x\leq 1/999\\1/x & \text{si}& x\in [1/999,999]\\\dfrac{1}{999}+\left(999-\dfrac{1}{999}\right)(x-999) & \text{si} &x\in [999,1000]\\999 & \text{si}& x\geq 1000\end{cases}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #3 : 19/03/2018, 08:36:51 am »

Hola

Tenemos que

[texx]f(x)\cdot{\big((f\circ{f})(x)\big)}=f(x)\cdot{\Big(f\big(f(x)\big)\Big)}=1\Rightarrow{f\big(f(x)\big)}=\displaystyle\frac{1}{f(x)}[/texx].


Podría tratarse de la función que a cada real    [texx]x[/texx]    le hace corresponder su inverso. Aún definiendo    [texx]f(0)=0[/texx]    para que no se anule, la función no sería continua en cero y por supuesto, no podría ser     [texx]f(1000)=999[/texx].

Pero no tiene sentido que definas [texx]f(0)=0[/texx]. Una función cumpliendo lo que se indica no puede tomar el valor [texx]0[/texx] en ningún punto.

Lo que se deduce de la correcta cuenta que has hecho es que para todo [texx]y\in Im(f)[/texx] se cumple que:

[texx]f(y)=\dfrac{1}{y}[/texx]

Por tanto dado que [texx]f(1000)=999[/texx] se tiene que [texx]999\in Im(f)[/texx] y así [texx]f(999)=1/999[/texx]. Ahora como:

[texx]f(999)=1/999[/texx] y [texx]f(1000)=999[/texx]

y [texx]f[/texx] es continua, sabemos que recorre todos los valores intermedios, es decir, [texx](1/999,1000)\in Im(f)[/texx]. Por tanto [texx]500\in Im(f)[/texx] y así:

[texx]f(500)=\dfrac{1}{500}[/texx]

Con esto el ejercicio está resuelto.

Adicionalmente (y esto ya se sale de lo que estrictamente pide el problema) uno puede preguntarse si existe una función en esas condiciones y como sería. La respuesta es si y éste es sólo un ejemplo:

[texx]f(x)=\begin{cases}{ 999}&\text{si}& x\leq 1/999\\1/x & \text{si}& x\in [1/999,999]\\\dfrac{1}{999}+\left(999-\dfrac{1}{999}\right)(x-999) & \text{si} &x\in [999,1000]\\999 & \text{si}& x\geq 1000\end{cases}[/texx]

Saludos.

Vaya. Gracias. Ya pensé en una función definida por partes, pero no encontré la manera de plasmarlo. Un saludo a la clarividencia.
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