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Autor Tema: Sobre el rango de la matriz de una transformación lineal  (Leído 678 veces)
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Naoj
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« : 11/03/2018, 07:20:09 pm »

Sean [texx]\varphi,\psi:A\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}[/texx] funciones de clase [texx]C^{\infty}[/texx], [texx]A[/texx] abierto.
Sea [texx]\phi:A\rightarrow\mathbb{R}^{2}[/texx]definida por [texx]\phi=(\varphi,\psi)[/texx] y supongamos que existe una función [texx]\theta:A\rightarrow\mathbb{R}[/texx] tal que [texx]\psi(x)=\theta(x)\varphi(x)[/texx].
Sea [texx]x_{0}\in A[/texx] tal que [texx]\phi(x_0)=0[/texx]. Pruebe que [texx]D\phi(x_0)[/texx] tiene rango menor que 2.

Realmente no tengo idea como probar esto, cualquier sugerencia es bien recibida, gracias.
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Masacroso
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« Respuesta #1 : 12/03/2018, 02:06:56 am »

Básicamente te dicen que [texx]\phi=(\varphi,\theta\varphi)[/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si [texx]\phi(x_0)=0[/texx] entonces necesariamente [texx]\varphi(x_0)=0[/texx] y te piden mostrar que [texx]D\phi(x_0)[/texx] no es sobreyectiva. Simplemente tienes que hallar una forma más explícita de [texx]D\phi(x_0)[/texx], por ejemplo su matriz jacobiana y concluir que, efectivamente, sus dos filas no son linealmente independientes, por tanto su rango no puede ser 2.

Voy a suponer que [texx]\theta[/texx] es diferenciable en [texx]x_0[/texx]. Si [texx]\theta[/texx] es diferenciable en [texx]x_0[/texx] entonces se puede utilizar la regla del producto para ver la forma de la matriz jacobiana de [texx]D\phi(x_0)[/texx] y resolver. No sé si el resultado necesariamente se mantiene cuando [texx]\theta[/texx] no es diferenciable en [texx]x_0[/texx].

CORREGIDO.
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Naoj
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« Respuesta #2 : 03/04/2018, 12:16:04 pm »

Sinceramente no he logrado una demostración. Como podría empezar?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 04/04/2018, 08:28:05 am »

Hola

Sinceramente no he logrado una demostración. Como podría empezar?

Para que el resultado sea cierto [texx]\theta[/texx] tiene que ser diferenciable.

Por lo demás,... ¡es inmediato!. Concreto lo que te ha sugerido masacroso:

Simplemente si [texx]\psi(x)=\theta(x)\varphi(x)[/texx], las parciales de [texx]\psi[/texx] son (por la derivada de un producto):

[texx]\psi_i(x)=\theta_i(x)\varphi(x)+\theta(x)\varphi_i(x)[/texx]

Si [texx]\phi(x_0)=0[/texx] entonces [texx]\varphi(x_0)=0[/texx] y:

[texx]\psi_i(x_0)=\theta(x_0)\varphi_i(x_0)[/texx]

Por tanto en [texx]x_0[/texx]  las parciales de [texx]\psi_i[/texx] son un múltiplo (que no depende de [texx]i[/texx]) de las parciales de [texx]\varphi_i[/texx] y así en la matriz jacobiana de [texx]D\phi(x_0)[/texx] una fila es múltiplo de la otra; por tanto la matriz a lo sumo tiene rango uno.

Saludos.
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Naoj
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« Respuesta #4 : 10/04/2018, 04:31:48 pm »

Mil gracias.
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Naoj
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« Respuesta #5 : 11/04/2018, 11:56:55 am »

Me surge una última duda, ¿por qué el resultado es cierto solo si [texx]\theta[/texx] es diferenciable en [texx]x_0[/texx]?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #6 : 11/04/2018, 07:28:08 pm »

Hola

Me surge una última duda, ¿por qué el resultado es cierto solo si [texx]\theta[/texx] es diferenciable en [texx]x_0[/texx]?

En el argumento estamos usando de manera decisiva que [texx]\theta[/texx] es diferenciable, porque de hecho la diferenciamos.

Habría que ver si hay un ejemplo donde no se cumple la propiedad sin la hipótesis de diferenciabilidad o en su defecto otra demostración del resultado que no use la diferenciabilidad.

Saludos.
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