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Autor Tema: Difeomorfismo.  (Leído 150 veces)
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crisnodo
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« : 11/03/2018, 05:56:47 pm »

Hola, tengo un ejercicio y me gustaría saber si lo he hecho bien o no,si me podéis ayudar por favor.
Sea [texx]S_2 =[/texx]{[texx](x,y,z)\in{} \mathbb{R^2}: x^2+y^2+z^2=1[/texx]} la esfera unidad en [texx]\mathbb{R^3}[/texx]
Estudiar si la siguiente aplicación diferenciable [texx]\emptyset:S_2\longrightarrow{\mathbb{R^2}  }[/texx] Tal que [texx]\emptyset(x,y,z)=(yx,zx)[/texx]es difeomorfismo local  en el punto [texx]p_0 =(0,1,0)\in{\mathbb{R^3}}[/texx]



Sabemos por un teorema que para que una función sea difeomorfismo local una de las propiedades o requisitos que tiene que cumplir es que {[texx]{dy}[/texx]} sea base de [texx]T*_p S[/texx](este último es el espacio cotangente de [texx]S[/texx] en el punto [texx]p[/texx]).
Es decir,tenemos que ver que las coordenadas son locales.
Para demostrarlo voy a ver que las coordenadas son linealmente independientes.
(Notación: [texx]y_1=yx[/texx] e [texx]y_2=yz[/texx])
Luego, [texx]T*_p S[/texx]={[texx]dy_1,dy_2[/texx]} = <([texx]y,x,0),(z,0,x[/texx])
y como, [texx]T_p S=<d_p F>=<(2x,2y,2z)>=<(x,y,z)>[/texx]
Y también como, [texx]T*_p S=T*_p \mathbb{R^3}-<(x,y,z)>^\circ{}[/texx]
Entonces,
[texx]\begin{vmatrix} x & y &z \\ y & x &  0 \\ z & 0 & x \end{vmatrix} =x(x^2-y^2-z^2)[/texx]
Y esto si lo evaluamos en el [texx]p[/texx] nos va a dar cero. Luego no son linealmente independientes.
Y por lo tanto no hay difeomorfismo local en el punto [texx]p=(0,1,0)[/texx]

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/03/2018, 06:20:05 am »

Hola

 Está bien, pero me desconcierta la notación.

Hola, tengo un ejercicio y me gustaría saber si lo he hecho bien o no,si me podéis ayudar por favor.
Sea [texx]S_2 =[/texx]{[texx](x,y,z)\in{} \mathbb{R^2}: x^2+y^2+z^2=1[/texx]} la esfera unidad en [texx]\mathbb{R^3}[/texx]
Estudiar si la siguiente aplicación diferenciable [texx]\emptyset:S_2\longrightarrow{\mathbb{R^2}  }[/texx] Tal que [texx]\emptyset(x,y,z)=(yx,zx)[/texx]es difeomorfismo local  en el punto [texx]p_0 =(0,1,0)\in{\mathbb{R^3}}[/texx]



Sabemos por un teorema que para que una función sea difeomorfismo local una de las propiedades o requisitos que tiene que cumplir es que {[texx]{dy}[/texx]} sea base de [texx]T*_p S[/texx](este último es el espacio cotangente de [texx]S[/texx] en el punto [texx]p[/texx]).
Es decir,tenemos que ver que las coordenadas son locales.
Para demostrarlo voy a ver que las coordenadas son linealmente independientes.
(Notación: [texx]y_1=yx[/texx] e [texx]y_2=yz[/texx])
Luego, [texx]T*_p S[/texx]={[texx]dy_1,dy_2[/texx]} = <([texx]y,x,0),(z,0,x[/texx])
y como, [texx]T_p S=<d_p F>=<(2x,2y,2z)>=<(x,y,z)>[/texx]

Ese no es el tangente, sino el cotangente, es decir [texx](x,y,z)[/texx] es el vector normal al plano tangente a la esfera.

Por otra parte en realidad la diferencial de la aplicación dada en el punto P=(0,1,0) ni tan siquiera tiene rango dos definida sobre todo \mathbb{R}^3 ya que el Jacobiano en tal punto queda:

[texx]\begin{pmatrix}{y}&{x}&{0}\\{z}&{0}&{x}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\\end{pmatrix}[/texx]

que tiene rango uno; por tanto es imposible que restringida a la esfera sea difeomorfismo (la diferencial a lo sumo sigue teniendo rango uno).

Saludos.
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crisnodo
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« Respuesta #2 : 12/03/2018, 12:46:57 pm »

Hola Luis Fuentes, gracias por contestarme y por su tiempo.
Ahora supongamos que nos pide estudiar el difeomorfismo local en el punto (1,1,1) por ejemplo.
¿Cómo seria el procedimiento? Lo único que se me ocurre es aplicar el teorema que cité en el primer mensaje.
Muchas gracias.
Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 12/03/2018, 01:08:59 pm »

Hola

Hola Luis Fuentes, gracias por contestarme y por su tiempo.
Ahora supongamos que nos pide estudiar el difeomorfismo local en el punto (1,1,1) por ejemplo.
¿Cómo seria el procedimiento? Lo único que se me ocurre es aplicar el teorema que cité en el primer mensaje.
Muchas gracias.

Si; ya te dije que está bien. En general será difeomorfismo en[texx](x,y,z)[/texx] si el siguiente determinantes no se anula:

[texx]\begin{vmatrix} x & y &z \\ y & x &  0 \\ z & 0 & x \end{vmatrix} =x(x^2-y^2-z^2)[/texx]

Ahora en el punto [texx](1,1,1)[/texx] no valdría porque no pertenece a la esfera [texx]S_2[/texx].

Saludos.
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crisnodo
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« Respuesta #4 : 12/03/2018, 01:15:17 pm »

Hola de nuevo Luis Fuentes,
Ay qué error  :BangHead: ! Es verdad (1,1,1) no está en la esfera.
Pero eso es lo quería que me aclararas.
Muchas gracias.
Saludos.
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