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Autor Tema: Caracterización de isomorfismo de categorias  (Leído 105 veces)
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malboro
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« : 11/03/2018, 12:08:55 pm »

Definición: Un funtor [texx]F:A\longrightarrow{B}[/texx] es un isomorfismo si y solo solo existe un funtor [texx]G:B\longrightarrow{A}[/texx] tal que [texx]G\circ{F}=1_A[/texx] y [texx]F\circ{G}=1_B[/texx].

En este caso [texx]A [/texx] y [texx]B[/texx] se dicen isomorfos.

Proposición: Un funtor [texx]F:A\longrightarrow{B}[/texx] es un isomorfismo si y solo si es pleno, fiel y biyectivo en objetos.

La ida si conseguí probar, espero una idea para la vuelta.

Gracias

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Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
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« Respuesta #1 : 12/03/2018, 08:24:49 am »

Si un funtor [texx]F:A \rightarrow B[/texx] es pleno, fiel y biyectivo en objetos, puedes definir un nuevo funtor [texx]G:B \rightarrow A[/texx] de la siguiente manera. En objetos, [texx]G(b)[/texx] es el único objeto de [texx]A[/texx] tal que [texx]F(G(b)) = b[/texx]. Y en morfismos, [texx]G(f)[/texx] es el único morfismo de [texx]A[/texx] tal que [texx]F(G(f)) = f[/texx].

El hecho de que [texx]F[/texx] es fiel, pleno y biyectivo en objetos se usa para ver que [texx]G[/texx] está bien definido. Y una vez tienes esto, es inmediato que [texx]G[/texx] es el funtor inverso de [texx]F[/texx].
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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