19/09/2018, 03:55:01 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Un corredor recorre 6 km en 30 m. Demuestra que recorre 1 km en exactamente 5 m.  (Leído 314 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.810


Ver Perfil
« : 11/03/2018, 07:10:32 am »


Un corredor recorre 6 kilómetros en 30 minutos. Demuestra que en algún momento de su carrera recorre

1 kilómetro en exactamente 5 minutos.


En línea
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 908


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 11/03/2018, 07:30:01 am »

Suponiendo que el corredor no recorre metros hacia atrás en ningún momento el ejercicio se puede traducir en lo siguiente: sea una función continua y biyectiva [texx]f:[0,30]\to[0,6][/texx] tal que [texx]f(0)=0[/texx] (y [texx]f(30)=6[/texx]). Demostrar que existe un [texx]x_0\in [0,30][/texx] tal que [texx]f(x_0+5)-f(x_0)=1[/texx].

SOLUCIÓN:
Spoiler (click para mostrar u ocultar)
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.810


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 11/03/2018, 07:33:46 am »

Equivocaciones y meteduras de pata a parte, debería ser bastante fácil aplicando el teorema de Bolzano.

Consideramos que la función    [texx]\color{red}f[/texx]    representa la velocidad del corredor, esto es, para cada     [texx]t\in{[0,30]}[/texx],    [texx]f(t)[/texx]    es

la distancia al punto de partida.  No veo como demostrarlo pero consideramos que es continua. El corredor deberá

estar a todas las distancias comprendidas entre    [texx]0[/texx] km. y    [texx]30[/texx] Km., no puede teletransportarse.


Tenemos que solo hay dos posibilidades:

   i)    o bien la velocidad es constante, con lo que se verá obligado a recorrer 1 km en cada período de 5 minutos

         durante toda la carrera y el problema está resuelto,

   ii)   o bien la velocidad es variable, con lo que, en algún período de 5 minutos recorrerá menos de 1 kilómetro, y se

         verá obligado a recorrer más de 1 km en algún otro periodo de 5 minutos si quiere completar los 6 km en 30

         minutos.

         Esto es, existen    [texx]t_1,t_2\in{[0,25]}[/texx]    tal que    [texx]f(t_1+5)-f(t_1)>1[/texx]    y    [texx]f(t_2+5)-f(t_2)<1[/texx],    o lo que

         es lo mismo,    [texx]f(t_1+5)-f(t_1)-1>0[/texx]    y    [texx]f(t_2+5)-f(t_2)-1<0[/texx],    la función toma valores

         positivos y negativos en dicho intervalo, con lo que, el teorema de Bolzano, nos asegura que en algún momento

         será


[texx]f(t+5)-f(t)-1=0[/texx],    y por consiguiente,


[texx]f(t+5)-f(t)=1[/texx]    para algún    [texx]t\in{[0,25]}[/texx],       c.q.d.


Saludos.


CORREGIDO por Masacroso.


EDITO.

Por el mismo razonamiento, en algún momento, el corredor recorre 200 metros en 1 minuto y podríamos seguir así por los siglos de los siglos.


:sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia:

En cualquier caso, Bolzano !un genio!
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.810


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 11/03/2018, 07:58:27 am »

Suponiendo que el corredor no recorre metros hacia atrás en ningún momento el ejercicio se puede traducir en lo siguiente: se una función continua y biyectiva [texx]f:[0,30]\to[0,6][/texx] tal que [texx]f(0)=0[/texx] (y [texx]f(30)=6[/texx]). Demostrar que existe un [texx]x_0\in [0,30][/texx] tal que [texx]f(x_0+5)-f(x_0)=1[/texx].

SOLUCIÓN:
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si gracias, se me olvidó mencionar que la función    [texx]f[/texx]    es continua en el intervalo   [texx][0,30][/texx],    condición necesaria para poder aplicar el teorema de Bolzano. Pero el enunciado no especifica que deba ser o no ser inyectiva, sólo especifica que ha de ser continua en un intervalo.

Un saludo.
En línea
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 908


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 11/03/2018, 08:23:45 am »

Suponiendo que el corredor no recorre metros hacia atrás en ningún momento el ejercicio se puede traducir en lo siguiente: se una función continua y biyectiva [texx]f:[0,30]\to[0,6][/texx] tal que [texx]f(0)=0[/texx] (y [texx]f(30)=6[/texx]). Demostrar que existe un [texx]x_0\in [0,30][/texx] tal que [texx]f(x_0+5)-f(x_0)=1[/texx].

SOLUCIÓN:
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si gracias, se me olvidó mencionar que la función    [texx]f[/texx]    es continua en el intervalo   [texx](0,30)[/texx],    condición necesaria para poder aplicar el teorema de Bolzano. Pero el enunciado no especifica que deba ser o no ser inyectiva, sólo especifica que ha de ser continua en un intervalo.

Un saludo.

Cierto, no hace falta que sea inyectiva, eso se puede obviar y se puede usar el mismo argumento que he dejado. He supuesto que era inyectiva porque me parecería raro que el corredor volviera para atrás parte del camino ya recorrido, pero no hace falta esa hipótesis para nada.

Asumimos que la función es contínua del mismo modo que se puede asumir que el corredor no va para atrás, es decir, usando el sentido común. En este caso que sea continua equivale a decir que el corredor no se teletransporta.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.810


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 11/03/2018, 08:34:54 am »


Asumimos que la función es contínua del mismo modo que se puede asumir que el corredor no va para atrás, es decir, usando el sentido común. En este caso que sea continua equivale a decir que el corredor no se teletransporta.

Yo diría que incluso aunque volviese para atrás el argumento no se caería, simplemente la función no sería inyectiva. Si se teletransportase sí que se caería por que entonces la función ya no sería continua y el teorema de Bolzano no podría asegurar nada. Y si estuviese en dos sitios en el mismo instante ya ni siquiera sería una función.

Saludos.
En línea
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 908


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 11/03/2018, 08:59:34 am »

Yo diría que incluso aunque volviese para atrás el argumento no se caería, simplemente la función no sería inyectiva.

Claro, eso es lo he dicho en el mensaje anterior.

Cita
Si se teletransportase sí que se caería por que entonces la función ya no sería continua y el teorema de Bolzano no podría asegurar nada.

Exactamente.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.810


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 11/03/2018, 09:25:32 am »

Ostras! Otra metedura de pata! Para variar.


Supongamos una pista de atletismo recta de 1 km. El corredor va y viene a lo largo de la pista 6 veces, es decir,

cuando llega al final de la pista vuelve y esto lo repite 3 veces. En todo momento la distancia del corredor al punto

de partida pertenece al intervalo     [texx][0,1][/texx]    en kilómetros, pero sin embargo recorre 6 kms.


Es decir, lo que representa la función   [texx]f[/texx]    en cada    [texx]t\in{[0,30]}[/texx],    es cuanto se ha movido el corredor en

cualquier dirección, esto es, cuanto  ha cambiado su posición respecto a su posición en    [texx]t=0[/texx].    O, cuanto

espacio lleva recorrido en cada    [texx]t\in{[0,30]}[/texx].


El movimiento es continuo. Si algo se mueve a una determinada velocidad    [texx]v(t_1)=x\neq{0}[/texx]   en un instante    [texx]t_1[/texx]

y en un instante    [texx]t_2[/texx]    se para,     [texx]v(t_2)=0[/texx]    es claro que ha tenido que moverse a todas las velocidades

comprendidas entre    [texx]0[/texx]    y    [texx]x[/texx].    Esto no debería necesitar demostración. Además, no conocemos la expresión de

la función, con lo que es imposible estudiar su continuidad. 


Saludos. 
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.231


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 12/03/2018, 06:35:14 am »

Hola

El movimiento es continuo. Si algo se mueve a una determinada velocidad    [texx]v(t_1)=x\neq{0}[/texx]   en un instante    [texx]t_1[/texx]

y en un instante    [texx]t_2[/texx]    se para,     [texx]v(t_2)=0[/texx]    es claro que ha tenido que moverse a todas las velocidades

comprendidas entre    [texx]0[/texx]    y    [texx]x[/texx].    Esto no debería necesitar demostración. Además, no conocemos la expresión de

la función, con lo que es imposible estudiar su continuidad. 

En primer lugar del enunciado no se deduce que el corredor esté parado en ningún momento. Recorre 6 kilómetros en 30 minutos, pero quizá venía corriendo de antes y continuo corriendo más después sin pararse.

En segundo lugar, el enunciado no pide mostrar que la velocidad instantánea en un determinado punto toma tal o cual valor; sino que hay un tramo de 1 kilómetro que fue recorrido en 5 minutos.

En tercer lugar la función distancia recorrida se supone continua porque nadie puede teletransportarse y recorrer una distancia en tiempo cero.

Saludos.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.810


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 12/03/2018, 08:13:18 am »

Hola

El movimiento es continuo. Si algo se mueve a una determinada velocidad    [texx]v(t_1)=x\neq{0}[/texx]   en un instante    [texx]t_1[/texx]

y en un instante    [texx]t_2[/texx]    se para,     [texx]v(t_2)=0[/texx]    es claro que ha tenido que moverse a todas las velocidades

comprendidas entre    [texx]0[/texx]    y    [texx]x[/texx].    Esto no debería necesitar demostración. Además, no conocemos la expresión de

la función, con lo que es imposible estudiar su continuidad. 

En primer lugar del enunciado no se deduce que el corredor esté parado en ningún momento. Recorre 6 kilómetros en 30 minutos, pero quizá venía corriendo de antes y continuo corriendo más después sin pararse.

Cherto. O quizás estuvo parado unos minutos bebiendo agua o tomándose un respiro, con lo que tampoco la función es estrictamente creciente ni inyectiva. Parece que es monótona, creciente en sentido amplio y por supuesto continua.

Aún cuando no se pueda demostrar, (falta la expresión que la define), es por sentido común, el espacio recorrido no puede desintegrarse.

En segundo lugar, el enunciado no pide mostrar que la velocidad instantánea en un determinado punto toma tal o cual valor; sino que hay un tramo de 1 kilómetro que fue recorrido en 5 minutos.

Cuestión de analizar las características principales de la función, lo cierto es que me hice un buen lío con la velocidad al tratar de analizarla. Ser continua en un intervalo es más que suficiente para poder aplicar el teorema de Bolzano, bastaba con eso.



En tercer lugar la función distancia recorrida se supone continua porque nadie puede teletransportarse y recorrer una distancia en tiempo cero.


Si, lo de continua quedó claro una vez conseguido identificar de que función se trata. Efectivamente se trata de la función "distancia recorrida" que hace corresponder a cada     [texx]t\in{[0,30]}[/texx]     una longitud o distancia.    Se podría incluso asegurar que la función es siempre mayor o igual que cero por el hecho de ser distancia, no tiene sentido una distancia negativa.


Un saludo y gracias.

EDITO.

El espacio no puede contraerse y si no que se lo digan a Albert.

¿Se podría aplicar el teorema de Bolzano si el corredor fuese un fotón?


:malvado:
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!