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Autor Tema: Propiedades sobre el mcd  (Leído 130 veces)
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« : 10/03/2018, 07:55:05 pm »

Hola! Tengo que probar lo siguiente, espero puedan ayudarme :sonrisa:

1.[texx]MCD(b,a+bc)=MCD(a,b)[/texx] (Donde [texx]MCD[/texx] es el Máximo Común Divisor)

Hice lo siguiente: como [texx]MCD(b,a+bc)=e[/texx] divide a [texx]b[/texx] y a [texx]a+bc[/texx] concluí que [texx]b=ek_1[/texx] y [texx]a+bc=ek_2[/texx] respectivamente, al sustituir llegué a que [texx]a=e(k_2-k_1c)=ek_3[/texx] entonces [texx]e[/texx] divide a [texx]a[/texx] de lo que podría concluir que [texx]e\leq{MCD(a,b)}[/texx]. Lo que quiero hacer para terminar esta demostración es que [texx]e\geq{MCD(a,b)}[/texx] para luego decir que [texx]e=MCD(a,b)[/tex pero no se me ocurre que hacer  :triste:

2.Si [texx]a[/texx] es par y [texx]b[/texx] impar, entonces [texx]MCD(a,b)=MCD(\displaystyle\frac{a}{2},b)[/texx]

Y tengo el mismo problema, [texx]c=MCD(\displaystyle\frac{a}{2},b)[/texx] entonces [texx]c[/texx] divide a [texx]\displaystyle\frac{a}{2}[/texx] luego también divide a [texx]a[/texx] por lo tanto [texx]c\leq{MCD(a,b)}[/texx]; y quiero hacer exactamente lo de la parte anterior y tampoco puedo  :indeciso:

(También me gustaría saber si lo que planteé esta bien...)

Agradezco su ayuda![/texx]
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 10/03/2018, 10:05:01 pm »

Hola.
Hola! Tengo que probar lo siguiente, espero puedan ayudarme :sonrisa:

1.[texx]MCD(b,a+bc)=MCD(a,b)[/texx] (Donde [texx]MCD[/texx] es el Máximo Común Divisor)

Hice lo siguiente: como [texx]MCD(b,a+bc)=e[/texx] divide a [texx]b[/texx] y a [texx]a+bc[/texx] concluí que [texx]b=ek_1[/texx] y [texx]a+bc=ek_2[/texx] respectivamente, al sustituir llegué a que [texx]a=e(k_2-k_1c)=ek_3[/texx] entonces [texx]e[/texx] divide a [texx]a[/texx] de lo que podría concluir que [texx]e\leq{MCD(a,b)}[/texx]. Lo que quiero hacer para terminar esta demostración es que [texx]e\geq{MCD(a,b)}[/texx] para luego decir que [texx]e=MCD(a,b)[/tex pero no se me ocurre que hacer  :triste:

2.Si [texx]a[/texx] es par y [texx]b[/texx] impar, entonces [texx]MCD(a,b)=MCD(\displaystyle\frac{a}{2},b)[/texx]

Y tengo el mismo problema, [texx]c=MCD(\displaystyle\frac{a}{2},b)[/texx] entonces [texx]c[/texx] divide a [texx]\displaystyle\frac{a}{2}[/texx] luego también divide a [texx]a[/texx] por lo tanto [texx]c\leq{MCD(a,b)}[/texx]; y quiero hacer exactamente lo de la parte anterior y tampoco puedo  :indeciso:

(También me gustaría saber si lo que planteé esta bien...)

Agradezco su ayuda!
[/texx]
Con un razonamiento análogo pero a la inversa.

Te lo hago para el apartado 1º:

Sea [texx]M.C.D(a,b)=d[/texx], tu has probado que [texx]e|d[/texx]

Falta ver que [texx]d|e[/texx]

Si [texx]M.C.D(a,b)=d[/texx] , entonces [texx]a=d\cdot{}m_1[/texx] y [texx]b=d\cdot{}m_2[/texx]

[texx]a+bc=d\cdot{}m_1+d\cdot{}m_2\cdot{}c=d(m_1+m_2\cdot{}c)\Rightarrow{}d|e[/texx] por ello [texx]MCD(b,a+bc)=MCD(a,b)[/texx]

Saludos.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
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