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jacks
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« : 10/03/2018, 12:26:21 pm »

If all the distinct roots of the equation [texx]y^{47}+2y^{46}+3y^{45}+\cdots\cdots +24y^{24}+23y^{23}+\cdots 2y^2+y=0[/texx]

Are [texx]z_{1},z_{2},\cdots\cdots ,z_{i}[/texx] and imaginary part of [texx]z^2_{i}[/texx] is [texx]b_{i}[/texx].

Then [texx]|b_{1}|+|b_{2}|+\cdots \cdots +|b_{i}|[/texx] is
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/03/2018, 07:43:57 am »

Hola

If all the distinct roots of the equation [texx]y^{47}+2y^{46}+3y^{45}+\cdots\cdots +24y^{24}+23y^{23}+\cdots 2y^2+y=0[/texx]

Are [texx]z_{1},z_{2},\cdots\cdots ,z_{i}[/texx] and imaginary part of [texx]z^2_{i}[/texx] is [texx]b_{i}[/texx].

Then [texx]|b_{1}|+|b_{2}|+\cdots \cdots +|b_{i}|[/texx] is

Note that:

[texx]1+2y+3y^2+\ldots+ny^{n-1}=\dfrac{1-y^n}{(1-y)^2}-\dfrac{ny^n}{1-y}[/texx]

Cita
[texx]f(y)=1+2y+3y^2+\ldots+ny^{n-1}[/texx]
[texx]yf(y)=y+2y^2+3y^3+\ldots+ny^{n}[/texx]

[texx]f(y)-yf(y)=1+y+\ldots+y^{n-1}-ny^n=\dfrac{1-y^n}{1-y}-ny^n[/texx]

Moreover:

[texx]y^{46}+2y^{45}+3y^{44}+\ldots+23y^{24}=y^{46}(1+2x+3x^2+\ldots+23x^{22})[/texx] with [texx]x=y^{-1}.[/texx]

Combining these two facts prove that:

[texx]p(x)=y^{47}+2y^{46}+3y^{45}+\cdots\cdots +24y^{24}+23y^{23}+\cdots 2y^2+y=\dfrac{y(y^{24}-1)^2}{(y-1)^2}[/texx]

Now try to conclude...

Best regards.
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« Respuesta #2 : 14/03/2018, 11:22:05 pm »

Thanks Admin got it.
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