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Autor Tema: Sucesión en espacio dual  (Leído 234 veces)
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JackJack
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« : 10/03/2018, 12:14:19 pm »

Saludos

Necesito un poco de ayuda para entender lo siguiente:

Tengo [texx]F[/texx] un espacio vectorial normado y [texx]F'[/texx] (Dual)separable. Entonces, existe un conjunto denso y numerable [texx]\{\psi_n\}_{n\in\mathbb{N}}[/texx] en  [texx]F'[/texx].

Y se tiene que
[texx]\forall{n\in\mathbb{N}},\exists{y_n\in F}, \left\|{y_n}\right\|\leq 1\; tal\;que\; \left |{\psi_n(y_n)}\right |\geq \displaystyle\frac{1}{2} \left\|{\psi_n}\right\|[/texx].
Pero ¿porqué?.

Gracias de antemano
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 12/03/2018, 06:10:04 am »

Hola

Saludos

Necesito un poco de ayuda para entender lo siguiente:

Tengo [texx]F[/texx] un espacio vectorial normado y [texx]F'[/texx] (Dual)separable. Entonces, existe un conjunto denso y numerable [texx]\{\psi_n\}_{n\in\mathbb{N}}[/texx] en  [texx]F'[/texx].

Y se tiene que
[texx]\forall{n\in\mathbb{N}},\exists{y_n\in F}, \left\|{y_n}\right\|\leq 1\; tal\;que\; \left |{\psi_n(y_n)}\right |\geq \displaystyle\frac{1}{2} \left\|{\psi_n}\right\|[/texx].
Pero ¿porqué?.

Gracias de antemano

Por definición:

[texx]\|\psi_n\|=sup\{|\psi_n(y)||\|y\|\leq 1\}[/texx]

Por tanto como [texx]\dfrac{1}{2}\|\psi_n\|\leq \|\psi_n\|[/texx] existe un y con [texx]\|y\|\leq 1[/texx] tal que:

[texx]\dfrac{1}{2}\|\psi_n\|\leq |\psi_n(y)|\leq \|\psi_n\|[/texx]

Saludos.
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