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Autor Tema: Derivada direccional no nula  (Leído 219 veces)
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mathlife
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« : 10/03/2018, 10:58:27 am »

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considerado el funcional [texx]F(y)=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2}[/texx], se pide probar que existe algún v de clase 2 cumpliendo que [texx]v(0)=v(1)=0[/texx] y tal que la derivada direccional de F con respecto a v,[texx]\delta_vF(y)[/texx], es no nula.

Gracias.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/03/2018, 06:11:21 am »

Hola

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considerado el funcional [texx]F(y)=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2}[/texx], se pide probar que existe algún v de clase 2 cumpliendo que [texx]v(0)=v(1)=0[/texx] y tal que la derivada direccional de F con respecto a v,[texx]\delta_vF(y)[/texx], es no nula.

Gracias.

Estás trabajando entiendo en un espacio de funciones en [texx][0,1][/texx]. ¿Cuál?¿Con qué norma?.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 12/03/2018, 09:06:37 am »

Hola

Hola, agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Considerado el funcional [texx]F(y)=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2}[/texx], se pide probar que existe algún v de clase 2 cumpliendo que [texx]v(0)=v(1)=0[/texx] y tal que la derivada direccional de F con respecto a v,[texx]\delta_vF(y)[/texx], es no nula.

Gracias.


Estás trabajando entiendo en un espacio de funciones en [texx][0,1][/texx]. ¿Cuál?¿Con qué norma?.

Saludos.

Hola,

El espacio de  funciones es [texx]C^2[0,1][/texx] y la norma es la norma del máximo
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 13/03/2018, 06:39:29 am »

Hola

 La derivada direccional sería el límite:

[texx]\displaystyle\lim_{h\to 0}{}\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+((y+hv)')^2}-\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+y'^2}}{h}[/texx]

 Aplicando L'Hopital y derivación para integrales paramétricas queda:

[texx] \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{y'v'}{\sqrt{1+(y)')^2}}[/texx]

 Ahora necesitas ¿encontrar la [texx]v[/texx] que de una derivada no nula para cualquier [texx]y[/texx]? Por que por ejemplo cuando [texx]y'=0[/texx] (es decir [texx]y[/texx] constante), parece que la derivada direccional (si no me he equivocado) es nula en cualquier dirección.

Saludos.
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