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Autor Tema: Funtor preserva isomorfismos de flechas  (Leído 543 veces)
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malboro
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« : 10/03/2018, 02:12:20 am »

Hola

Sea [texx]F:A\longrightarrow{B}[/texx]  un funtor.

Si la flecha [texx]f [/texx] es inversa a izquierda en [texx]A[/texx] entonces [texx]Ff[/texx] es inversa a izquierda en [texx]B[/texx]. Un contraejemplo por favor para ver que el recíproco no se da.

Si la flecha [texx]f [/texx] es inversa a derecha en [texx]A[/texx] entonces [texx]Ff[/texx] es inversa a derecha en [texx]B[/texx]. Un contraejemplo por favor para ver que el recíproco no se da.

Si la flecha [texx]f [/texx] es isomorfismo en [texx]A[/texx] entonces [texx]Ff[/texx] es isomorfismo en [texx]B[/texx]. Un contraejemplo por favor para ver que el recíproco no se da.

La pregunta es: ¿ cuándo se cumple el recíproco en los 3 casos?
Respuesta: Cuando [texx]F[/texx] es plenamente fiel osea fiel y pleno al mismo tiempo.
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Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
malboro
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« Respuesta #1 : 11/03/2018, 11:46:38 am »

Hola tengo un contraejemplo para los tres casos anteriores, espero me puedan decir si esta bien.

Pienso tomar el funtor constante. Sea [texx]b[/texx] un objeto fijo de [texx]D[/texx]. Sea el funtor [texx]F:C\longrightarrow{D}[/texx] tal que [texx]Fa=b[/texx] para todo [texx]a[/texx] en [texx]Ob(C)[/texx] y si [texx]f:m\longrightarrow{n}[/texx] entonces [texx]Ff=1_b:b\longrightarrow{b}[/texx] es la identidad.

La identidad [texx]1_b[/texx] es un isomorfismo por ser la identidad y escojo una flecha [texx]g[/texx] que no sea un isomorfismo tal que [texx]Fg=1_b[/texx]

Ahora por ser [texx]1_b[/texx] la identidad entonces es isomorfismo en particular es inversa a izquierda y escojo un h que no sea inversa a izquierda tal que [texx]Fh=1_b[/texx]

Lo mismo para inversa a derecha.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 13/03/2018, 06:13:54 am »

Hola

 Está bien.

Saludos.
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malboro
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« Respuesta #3 : 27/06/2018, 10:06:03 pm »

Hola.

No consigo encontrar un ejemplo donde [texx]Ff[/texx] sea inversa a derecha pero [texx]f[/texx] no lo sea.

Que sea un ejemplo en categorías conocidas.

gracias
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 28/06/2018, 04:59:50 am »

Hola

No consigo encontrar un ejemplo donde [texx]Ff[/texx] sea inversa a derecha pero [texx]f[/texx] no lo sea.

Que sea un ejemplo en categorías conocidas.

¿Pero qué problema tiene el ejemplo que tú mismo pusiste?. Funciona en cualquier categoría que tenga al menos una flecha que no tenga inverso a la derecha.

Saludos.
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