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Autor Tema: Propiedades de los funtores fieles y plenos  (Leído 507 veces)
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malboro
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« : 08/03/2018, 09:03:54 pm »

Hola


Sean [texx]F:A\longrightarrow{B}, G:B\longrightarrow{C}[/texx] funtores.

1) Si [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son fieles (resp plenos) entonces [texx]G\circ{F}[/texx] es fiel (resp pleno), eso ya conseguí probar.

2)  Si [texx]G\circ{F}[/texx] es fiel entonces [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son fieles cada uno por separado ?  ( O por lo menos uno de ellos es fiel ? )

3)  Si [texx]G\circ{F}[/texx] es pleno entonces [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son plenos cada uno por separado ?  ( O por lo menos uno de ellos es pleno?)

Gracias
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Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 09/03/2018, 07:02:03 am »

Hola

Sean [texx]F:A\longrightarrow{B}, G:B\longrightarrow{C}[/texx] funtores.

1) Si [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son fieles (resp plenos) entonces [texx]G\circ{F}[/texx] es fiel (resp pleno), eso ya conseguí probar.

2)  Si [texx]G\circ{F}[/texx] es fiel entonces [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son fieles cada uno por separado ?  ( O por lo menos uno de ellos es fiel ? )

3)  Si [texx]G\circ{F}[/texx] es pleno entonces [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son plenos cada uno por separado ?  ( O por lo menos uno de ellos es pleno?)

 La fidelidad se comporta como la inyectividad.

 La plentitud se comporta como la sobreyectidad.

 Entonces en (2) lo razonable es que si la composición es fiel, entonces [texx]F[/texx] sea fiel pero no necesariamente [texx]G[/texx].

 En (3) lo razonable es que si la composición es plena, entonces [texx]G[/texx] sea plena pero no necesariamente [texx]G[/texx].

 Intenta demostrarlo.

Saludos.
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malboro
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« Respuesta #2 : 10/03/2018, 12:19:03 am »

Hola

Si [texx]G\circ{F}[/texx] es pleno entones [texx]G[/texx] es pleno. Me parece que eso no cumple pero no consigo un contraejemplo :¿eh?:, para fidelidad si cumple osea si  [texx]G\circ{F}[/texx] es fiel entonces [texx]F[/texx] es fiel. Otra cosa que se cumple es que si [texx]G\circ{F}[/texx]  es denso = esencialmente sobreyectivo entonces G es denso.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 13/03/2018, 06:12:06 am »

Hola

Si [texx]G\circ{F}[/texx] es pleno entones [texx]G[/texx] es pleno. Me parece que eso no cumple pero no consigo un contraejemplo :¿eh?:,

Si, tienes razón.

Toma:

[texx]A[/texx] la categoría formada por un único objeto, un conjunto unitario, y una única flecha.
[texx]B[/texx] la categoría de subgrupos de [texx]\mathbb{Z}[/texx], por ejemplo.
[texx]C[/texx] la categoría de conjuntos.

[texx]F:A\to B[/texx] el functor que lleva el único objeto en el grupo trivial [texx]\{0\}[/texx].
[texx]G:B\to C[/texx] el functor de olvido.

Comprueba que se cumple lo que exigimos al contraejemplo.

Saludos.
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