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Autor Tema: límite  (Leído 270 veces)
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Farifutbol
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« : 08/03/2018, 06:05:49 am »

tenemos una discusión sobre como hacer este límite, os cuento, en el apartado a preguntan:
a) [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{n}{n²+1²}\displaystyle\frac{n}{n² +2²}+...\displaystyle\frac{n}{n² +n²}}[/texx]
y en el b tenemos la discusión
b)[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{n\displaystyle\frac{\pi}{4}-(\displaystyle\frac{n²}{n²+1²}\displaystyle\frac{n²}{n² +2²}+...\displaystyle\frac{n²}{n²+n²})}[/texx]

me lo podeis editar? ahora no veo el fallo y debe ser una tonteria.

Llaves de más cerradas, arreglado (Moderador).
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 08/03/2018, 08:59:25 am »

Editado

Lo que está en el spoiler está mal.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)
Para el segundo intenta transformalo en una integral (Para usar las sumas de Riemmann).

Aunque falta editarlo un poco creo (el segundo).
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 08/03/2018, 09:06:40 am »

tenemos una discusión sobre como hacer este límite, os cuento, en el apartado a preguntan:
a) [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{n}{n²+1²}\displaystyle\frac{n}{n² +2²}+...\displaystyle\frac{n}{n² +n²}}[/texx]

Supongo que se trata de

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{n}{n²+1²}+\displaystyle\frac{n}{n² +2²}+\ldots \displaystyle\frac{n}{n² +n²}}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\dfrac{n}{n²+k²}}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n{\dfrac{n^2}{n²+k²}}}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n{\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{k}{n}\right)²}}}=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx = \left |{\arctg x}\right |_0^1 = \dfrac{\pi}{4}[/texx]

(Suma de Riemann)


y en el b tenemos la discusión
b)[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{n\displaystyle\frac{pi}{4}-(\displaystyle\frac{n²}{n²+1²}\displaystyle\frac{n²}{n² +2²}+...\displaystyle\frac{n²}{n²+n²})}[/texx]

Añadiendo el mismo signo '+' que antes, queda una indeterminación del tipo [texx]\infty-\infty[/texx], o sacando [texx]n[/texx] factor común, [texx]\infty\cdot{}0[/texx], que no se muy bien como deshacer. El programa Derive no lo simplifica, pero tiene toda la pinta de ser [texx]\dfrac{1}{4}[/texx].

Saludos,

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« Respuesta #3 : 08/03/2018, 09:25:34 am »


Añadiendo el mismo signo '+' que antes, queda una indeterminación del tipo [texx]\infty-\infty[/texx], o sacando [texx]n[/texx] factor común, [texx]\infty\cdot{}0[/texx], que no se muy bien como deshacer. El programa Derive no lo simplifica, pero tiene toda la pinta de ser [texx]\dfrac{1}{4}[/texx].


claro, ese es el dilema,  yo acotando por suma superior y suma inferior de Riemann demostré que es menor que 1/2, pero para llegar a 1/4 tenemos un arduo debate... a ver que se os ocurre.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #4 : 08/03/2018, 10:04:24 am »


y en el b tenemos la discusión
b)[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{n\displaystyle\frac{pi}{4}-(\displaystyle\frac{n²}{n²+1²}\displaystyle\frac{n²}{n² +2²}+...\displaystyle\frac{n²}{n²+n²})}[/texx]

Añadiendo el mismo signo '+' que antes, queda una indeterminación del tipo [texx]\infty-\infty[/texx], o sacando [texx]n[/texx] factor común, [texx]\infty\cdot{}0[/texx], que no se muy bien como deshacer. El programa Derive no lo simplifica, pero tiene toda la pinta de ser [texx]\dfrac{1}{4}[/texx].

Saludos,

Una posibilidad es poner

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n\displaystyle\frac{pi}{4}-(\displaystyle\frac{n²}{n²+1²}+\displaystyle\frac{n²}{n² +2²}+...\displaystyle\frac{n²}{n²+n²})}
= \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n\left(\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^2}dx - \displaystyle\sum_{k=1}^n{ \dfrac{n}{n^2+k^2}}  \right)} \\

=  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}{\dfrac{1}{1+x^2}dx} } - \displaystyle\sum_{k=1}^n{ \dfrac{n}{n^2+k^2}} \right)} \\

=  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n\displaystyle\sum_{k=1}^n{\left(\displaystyle\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}{\dfrac{1}{1+x^2}dx} -  \dfrac{n}{n^2+k^2} \right)}}[/texx]

Se puede aproximar ahora cada integral por un trapecio,

[texx]=  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n\displaystyle\sum_{k=1}^n{\left(\dfrac{1}{2n}\left( \displaystyle\frac{1}{1+ \left(\dfrac{k-1}{n}\right)^2} + \displaystyle\frac{1}{1+ \left(\dfrac{k}{n}\right)^2}\right) -  \dfrac{n}{n^2+k^2} \right)}}[/texx]

Pero ahora no puedo seguir ...
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« Respuesta #5 : 08/03/2018, 02:49:39 pm »


Se puede aproximar ahora cada integral por un trapecio,

[texx]=  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n\displaystyle\sum_{k=1}^n{\left(\dfrac{1}{2n}\left( \displaystyle\frac{1}{1+ \left(\dfrac{k-1}{n}\right)^2} + \displaystyle\frac{1}{1+ \left(\dfrac{k}{n}\right)^2}\right) -  \dfrac{n}{n^2+k^2} \right)}}[/texx]


Continuando a partir de ahí:

[texx]=  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\left(\dfrac{1}{2}\left( \displaystyle\frac{1}{1+ \left(\dfrac{k-1}{n}\right)^2} + \displaystyle\frac{1}{1+ \left(\dfrac{k}{n}\right)^2}\right) -  \dfrac{n^2}{n^2+k^2} \right)}}\\
= \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\left(\dfrac{1}{2}\left( \displaystyle\frac{n^2}{n^2+ (k-1)^2} + \displaystyle\frac{n^2}{n^2+ k^2}\right) -  \dfrac{n^2}{n^2+k^2} \right)}}\\
= \dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{ \left(\displaystyle\frac{n^2}{n^2+ (k-1)^2} -  \dfrac{n^2}{n^2+k^2} \right)}}\\
= \dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \left(\dfrac{n^2}{n^2} -  \dfrac{n^2}{n^2+n^2} \right)} = \dfrac{1}{4}[/texx]

Solo queda justificar que la aproximación tomada no desvirtúa el cálculo, que no.

Saludos,

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« Respuesta #6 : 13/03/2018, 08:03:08 am »

Se me había olvidado, pero es para aplaudir un montón la solución Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso
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