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Autor Tema: Ejercicio de Métodos Numéricos Grado Informática  (Leído 991 veces)
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Asdfgh
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« : 04 Marzo, 2018, 08:08 »

Buenos días, estoy en el grado de informática y me han mandado realizar unos ejercicios que son todos similares (ejercicios tipo), lo que pasa es que nunca he dado metodos numéricos y estoy un poco perdido. Si alguien me pudiera decir como se realiza este le estaría agradecido, ya que luego tengo que programar el algoritmo para resolver el resto (para distintas funciones).

Demuestra que la función [texx]f(x)=x^3+4x^2-10[/texx] tiene una única raiz real [texx]x^*[/texx]. Además:

a) Comprueba que para calcular una aproximación de [texx]x^*[/texx] podemos utilizar las iteraciones del punto fijo dadas por
[texx]x_{n+1}=\frac{2x_n^3+4x_n^2+10}{3x_n^2+8x_n}[/texx], [texx]n \geq 0[/texx]
partiendo de un valor [texx]x_0[/texx] adecuado.

b) Estudia la convergencia de las aproximaciones a [texx]x^*[/texx].

De la programación me encargo yo, yo solo quiero saber como se resolvería como se le llama comúnmente, en papel.

Gracias por vuestra ayuda!
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 04 Marzo, 2018, 14:26 »

Demuestra que la función [texx]f(x)=x^3+4x^2-10[/texx] tiene una única raiz real [texx]x^*[/texx]. Además:
a) Comprueba que para calcular una aproximación de [texx]x^*[/texx] podemos utilizar las iteraciones del punto fijo dadas por
[texx]x_{n+1}=\frac{2x_n^3+4x_n^2+10}{3x_n^2+8x_n}[/texx], [texx]n \geq 0[/texx]
partiendo de un valor [texx]x_0[/texx] adecuado.
b) Estudia la convergencia de las aproximaciones a [texx]x^*[/texx].

Tenemos [texx]f(1)<0[/texx] y [texx]f(2)>0[/texx] por tanto existe una raíz [texx]x^*\in (1,2)[/texx]. Derivando y por un analisis del crecimiento y decrecimiento de [texx]f[/texx] deducirás fácilmente que la raíz es única. Ahora, el problema es rutinario conociendo la teoría previa: la iteración de punto fijo es [texx]x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}=\ldots[/texx] etc.
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