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Autor Tema: Enteros algebraicos  (Leído 278 veces)
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« : 02/03/2018, 04:00:57 pm »

Hola a todos, quisiera me dieran ideas para el siguiente ejercicio relacionado con los enteros algebraicos:
Sea [texx]K=\mathbb Q\left[ \omega  \right]  [/texx], donde [texx]\omega =\sqrt [ 3 ]{ 2 }[/texx], probar que [texx]{ O }_{ K }\subseteq \frac { 1 }{ 3 } \mathbb Z\left[ \omega  \right] 
[/texx]. Gracias.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 03/03/2018, 08:48:53 am »

El anillo de enteros algebraicos de [texx]K[/texx] es exactamente [texx]\mathbb Z[\omega][/texx], aunque el cálculo es algo laborioso. Lo tienes hecho a lo bruto en la página 399 de mi libro de álgebra, y usando algunos resultados más potentes sobre cálculo de anillos de enteros en el teorema 2.27 de mi libro de teoría de números.

Si hay algún argumento más simple que te permita comprobar al menos la inclusión que planteas, no lo sé. El discriminante de la base [texx]1,\omega, \omega^2[/texx] es [texx]-2^2\cdot 3^3[/texx], lo cual permite probar que el anillo de enteros está contenido en [texx](1/6)\mathbb Z[\omega][/texx]. Habría que descartar la presencia del 2 en el denominador.
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« Respuesta #2 : 08/03/2018, 10:45:06 am »

Gracias amigo Carlos. Puedes indicarme como se llega a [texx]{ O }_{ K }\subseteq \frac { 1 }{ 6 } \mathbb Z\left[ \omega  \right][/texx].
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 11/03/2018, 09:15:16 pm »

No había visto esta respuesta.

No es inmediato. Es consecuencia del teorema 2.25 de mi libro de teoría de números, que viene a decir que cada primo al cuadrado [texx]p^2[/texx] que divide al discriminante de una base formada por enteros plantea la posibilidad de encontrar otra base formada por enteros que resulta de sustituir uno de los elementos de la base por el resultado de dividir entre [texx]p[/texx] una combinación lineal de elementos de la base dada y en la que el discriminante ha perdido el factor [texx]p^2[/texx]. En este ejemplo, sólo hay dos primos al cuadrado que dividen al discriminante, que son [texx]4[/texx] y [texx]6[/texx], por lo que a lo sumo sería posible pasar a una base entera con discriminante [texx]-3[/texx] formada por elementos de [texx]\mathbb Z[\omega]/6[/texx]. La realidad es que no es posible, porque [texx]\mathbb Z[\omega][/texx] es ya la el anillo de enteros.

Si te han explicado el teorema 2.25 podemos ver los detalles del argumento, pero si no, no creo que esperen que razones por este camino.
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« Respuesta #4 : 13/03/2018, 10:37:34 pm »

Gracias amigo Carlos. El resultado que mencionas aún no lo hemos visto, sin embargo lo utilizaré para razonar sobre el ejercicio.
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