Hola
Hola buenas, me gustaría saber, donde puedo encontrar esta demostración, o si alguien la puede demostrar.
Demuestra que si [texx]X[/texx] es una variable aleatoria, entonces [texx]Y=aX + b[/texx], con [texx]a,b\in \mathbb{R}[/texx] también es variable aleatoria.
Saludos
En realidad es un caso particular de una propiedad más general. Recuerda la definición de variable aletoria que te comenté en
otro hilo.
Una variable aleatoria desde un espacio de probabilidad [texx](\Omega,A,p)[/texx] es una aplicación:
[texx]X:\Omega\to \mathbb{R}[/texx]
que es medible considerando en [texx]\mathbb{R}[/texx] el álgebra de Borel.
Entonces si [texx]X[/texx] es una variable aleatoria y [texx]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/texx] es Borel-medible entonces, la composición [texx]Y=f\circ X[/texx] es una variable aleatoria. Para la demostración basta tener en cuenta que si [texx]U[/texx] es Borel medible entonces [texx]f^{-1}(U)[/texx] es Borel medible por ser [texx]f[/texx] medible y [texx]Y^{-1}(U)=X^{-1}f^{-1}(U)[/texx] es medible por ser [texx]X[/texx] variable aleatoria.
En particular se cumple lo mismo si [texx]f[/texx] es continua porque toda función continua es Borel-medible. Entonces en tu caso particular basta tomar [texx]f(x)=ax+b[/texx] que es claramente continua.
Saludos.
