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Autor Tema: Problema de números irracionales  (Leído 949 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Gerardovf
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« : 15/01/2018, 03:35:47 pm »

Buenas a todos, necesito un poco de ayuda con este problema:

Sea [texx]\{ q_{n}: n=1,2,3,\dots\}[/texx] una enumeración de los números racionales, probar que existen números irracionales que no pertenecen a:

[texx]\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)[/texx]


Gracias de antemano.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 15/01/2018, 03:43:19 pm »

Hola

Buenas a todos, necesito un poco de ayuda con este problema:

Sea [texx]\{ q_{n}: n=1,2,3,\dots\}[/texx] una enumeración de los números racionales, probar que existen números irracionales que no pertenecen a:

[texx]\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)[/texx]


Gracias de antemano.

Basta tener en cuenta que:

[texx]\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\right)\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\mu\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)=2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}<\infty[/texx]

Por tanto esa unión no puede ser todo [texx]\mathbb{R}[/texx] que tiene medida infinita.

Saludos.
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Gerardovf
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« Respuesta #2 : 15/01/2018, 04:04:48 pm »

Muchísimas gracias, la época de exámenes está acabando conmigo, porque era bastante fácil  :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia:
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