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Autor Tema: Areas sombreadas en un cuadrado  (Leído 48 veces)
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bergson
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« : 14/02/2018, 12:24:03 am »

Hola amigos. Quería consultar si alguien sabe del aguna web, o me podría explicar él mismo, la DEMOSTRACION de aquellas fórmulas que aparecen en la imagen que he adjuntado. Gracias.


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ingmarov
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« Respuesta #1 : 14/02/2018, 02:35:53 am »

Hola BERGSON, bienvenido

Para el primero,

El área total (la del cuadrado) es [texx]L^2[/texx]

los triángulos grandes son congruentes con catetos L y L/2

el triangulo sombreado (con hipotenusa L/2) es semejante a los grandes, veamos cual es la razón entre estos triángulos, calculamos la hipotenusa "c" de los triángulos grandes

[texx]c=\sqrt{L^2+(L/4)^2}=\dfrac{L}{2}\sqrt{5}[/texx]

Ahora la razón entre los lados de los triángulos es

[texx]\dfrac{Hip\; grande}{Hip\; peque}=\dfrac{\frac{L}{2}\sqrt{5}}{\frac{L}{2}}=\sqrt{5}[/texx]

Si los catetos del triángulo sombreado son a y b, estos los podemos expresar en función de L como  [texx]a=\dfrac{L}{\sqrt{5}}[/texx]    y     [texx]b=\dfrac{L}{2\sqrt{5}}[/texx]

Entonces el área sombreada es   [texx]A=\dfrac{a\cdot b}{2}=\dfrac{L^2}{2(5)}=\dfrac{L^2}{20}[/texx]

Si dividimos esta última entre el área total  tenemos

[texx]\dfrac{A\; Sombreada}{A\; total}=\dfrac{\frac{L^2}{20}}{L^2}=\dfrac{1}{20}[/texx]



Prueba la otra de forma similar, quizás deberás dividir el área sombreada en dos triángulos semejantes a los grandes.


Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 14/02/2018, 10:15:31 pm »

Hola amigos. Quería consultar si alguien sabe del aguna web, o me podría explicar él mismo, la DEMOSTRACION de aquellas fórmulas que aparecen en la imagen que he adjuntado. Gracias.



Para el segundo, una atajo es considerar el triángulo en que está situado el sombreado de los dos en que la diagonal no dibujada divide al cuadrado. Las dos líneas que están trazadas son medianas de ese triángulo, por lo que el vértice del triángulo sombreado es su baricentro. Esto te permite calcular fácilmente su altura.

Saludos,

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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
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