17/08/2018, 05:28:55 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Continuidad y derivabilidad  (Leído 198 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Vickivictoria
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Argentina Argentina

Mensajes: 47


Ver Perfil
« : 13/02/2018, 07:57:15 pm »

[texx]f(x)=\begin{cases} x-x^2 & \text{si}& x\leq{3}\\\displaystyle\frac{x^2-9}{3-x}& \text{si}& \color{red}x>3\color{black}\end{cases}[/texx]

Continua en [texx]x=3[/texx]
[texx]f (3)= x-x^2=-6[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}3{-}}{x-x^2}=-6[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}3{-}}{\displaystyle\frac{x^2-9}{3-x}}=\displaystyle\frac{0}{0}[/texx] no se como seguir...



Mensaje corregido desde la administración.
En línea
mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.780

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 13/02/2018, 08:40:07 pm »

Hola Vickivictoria.

Seguramente la ecuación era como sigue (mira lo que está en rojo):

[texx]f(x)=\begin{cases} x-x^2 & \text{si}& x\leq{3}\\\displaystyle\frac{x^2-9}{3-x}& \text{si}& { \color{red}x>3}\end{cases}[/texx]

Para estudiar la continuidad de esta función en x=3, lo que has hecho es correcto. Sólo nota que para calcular el último límite debes usar [texx]\dfrac{x^2-9}{3-x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{-(x-3)}[/texx]
En línea
Vickivictoria
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Argentina Argentina

Mensajes: 47


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 13/02/2018, 09:10:42 pm »

El último límite me da 6. Por lo tanto no existe continuidad en [texx]x=3[/texx]
En línea
mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.780

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 13/02/2018, 09:53:36 pm »

Tu conclusión es correcta, aunque el último límite da 6 negativo.
En línea
Vickivictoria
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Argentina Argentina

Mensajes: 47


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 13/02/2018, 10:07:54 pm »

me faltó dividir por el [texx]-1[/texx] que quedaba al simplificar los[texx](×-3)[/texx] por eso no me dio.
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.240


Ver Perfil WWW
« Respuesta #5 : 13/02/2018, 10:54:04 pm »

Tu conclusión es correcta, aunque el último límite da 6 negativo.

El último límite da [texx]-6[/texx], por lo que la función es continua en [texx]x = 3[/texx] (aunque no derivable).

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
Vickivictoria
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Argentina Argentina

Mensajes: 47


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 13/02/2018, 11:22:02 pm »

Cita

El último límite da [texx]-6[/texx], por lo que la función es continua en [texx]x = 3[/texx] (aunque no derivable).

Saludos,

Me podes explicar¿ por qué no es derivable?
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.207


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 14/02/2018, 05:59:19 am »

Hola

Me podes explicar¿ por qué no es derivable?

Como observación previa la función puede escribirse como:

[texx]f(x)=\begin{cases} x-x^2 & \text{si}& x\leq{3}\\-x-3& \text{si}& \color{red}x>3\color{black}\end{cases}[/texx]

ya que si [texx]x\neq 3[/texx], [texx]\dfrac{x^2-9}{3-x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{-(x-3)}=-x-3[/texx]

La derivada en [texx]x_0=3[/texx] existe si existe el límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(3+x)-f(3)}{x}[/texx]

Pero el límite por la izquierda es:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}\dfrac{(3+x)-(3+x)^2+6}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}\dfrac{-5x-x^2}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}-5-x=-5[/texx]

y por la derecha:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}\dfrac{-(3+x)-3+6}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}1=1[/texx]

No coinciden y por tanto el límite no existe.

Saludos.

P.D. Si has dado los resultados que lo sustentan hay una forma más rápida de concluir esto. Las dos funciones que a trozos componen la nuestra son [texx]f_1(x)=x-x^2[/texx] y [texx]f_2(x)=-x-3[/texx] ambas derivables en un entorno del [texx]3[/texx] (con [texx]f_1'(x)=1-2x[/texx] y [texx]f_2'(x)=-1[/texx]) por ser polinómicas. Entonces:

[texx]f'_-(3)=f_1'(3)=1-2\cdot 3=-5,\qquad f'_+(3)=f_2'(3)=-1[/texx]

No coinciden y por tanto [texx]f[/texx] no es derivable en [texx]3[/texx].
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!