Hola
Me podes explicar¿ por qué no es derivable?
Como observación previa la función puede escribirse como:
[texx]f(x)=\begin{cases} x-x^2 & \text{si}& x\leq{3}\\-x-3& \text{si}& \color{red}x>3\color{black}\end{cases}[/texx]
ya que si [texx]x\neq 3[/texx], [texx]\dfrac{x^2-9}{3-x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{-(x-3)}=-x-3[/texx]
La derivada en [texx]x_0=3[/texx] existe si existe el límite:
[texx]\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(3+x)-f(3)}{x}[/texx]
Pero el límite por la izquierda es:
[texx]\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}\dfrac{(3+x)-(3+x)^2+6}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}\dfrac{-5x-x^2}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}-5-x=-5[/texx]
y por la derecha:
[texx]\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}\dfrac{-(3+x)-3+6}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}1=1[/texx]
No coinciden y por tanto el límite no existe.
Saludos.
P.D. Si has dado los resultados que lo sustentan hay una forma más rápida de concluir esto. Las dos funciones que a trozos componen la nuestra son [texx]f_1(x)=x-x^2[/texx] y [texx]f_2(x)=-x-3[/texx] ambas derivables en un entorno del [texx]3[/texx] (con [texx]f_1'(x)=1-2x[/texx] y [texx]f_2'(x)=-1[/texx]) por ser polinómicas. Entonces:
[texx]f'_-(3)=f_1'(3)=1-2\cdot 3=-5,\qquad f'_+(3)=f_2'(3)=-1[/texx]
No coinciden y por tanto [texx]f[/texx] no es derivable en [texx]3[/texx].
