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Autor Tema: En un DIP, p irreducible implica (p) es maximal  (Leído 30 veces)
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elesping
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« : 13/02/2018, 02:15:44 pm »

Alguien podría ayudarme a enfocar la demostración de este proposición:

Si R es un DIP y p es un elemento irreducible en R, entonces el ideal (p) es un maximal.

Editado. Tu título incial un DIP es un elemento irreducible no tiene sentido. Se ha cambiado por En un DIP, p irreducible implica (p) es maximal.
Fernando Revilla.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 13/02/2018, 02:52:53 pm »

Si R es un DIP y p es un elemento irreducible en R, entonces el ideal (p) es un maximal.

Elige un ideal [texx]I[/texx] de  [texx]R[/texx] tal que [texx](p)\subset I \subset R[/texx]. Como [texx]R[/texx] es un DIP, existe [texx] b\in R[/texx] tal que  [texx]I=(b)[/texx]. Como [texx]p\in (p)\subset I=(b)[/texx], podemos escribir [texx]p=bc[/texx] para algún [texx]c\in R.[/texx] Como [texx]p[/texx] es irreducible, o bien [texx]b[/texx] o bien [texx]c[/texx] es unidad de [texx]R[/texx].

Si [texx]b[/texx] es unidad, entonces [texx]I=(b)=R[/texx].
Si [texx] c [/texx] es unidad, existe [texx]c'\in R[/texx] tal que [texx]cc′=1.[/texx] Entonces,

          [texx]b=b⋅1=bcc′=pc′\Rightarrow  I=(b)=(p)[/texx]

En cualquier caso o bien [texx]I=(p)[/texx] o bien [texx]I=R[/texx] y por tanto, [texx](p)[/texx] es ideal maximal.
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