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Autor Tema: Ejemplo de aplicación continua (I)  (Leído 199 veces)
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« : 13/02/2018, 01:56:00 pm »

Hola buenas tardes, tengo dudas sobre como formar la siguiente aplicación.
     Se considera [texx]f:\mathbb{S}^2 \rightarrow{SO(3)}[/texx] que va desde la [texx]2[/texx]-esfera, a el grupo ortogonal especial dada por:

           [texx]\begin{bmatrix}{2x^2 - 1}&{2xy}&{2xz}\\{2xy}&{2y^2 -1}&{2yz}\\{2xz}&{2yz}&{2z^2-1}\end{bmatrix}[/texx]. Entonces ha de cumplir que la imagen es una matriz ortogonal si su determinante es 1 (y calculando) se tiene que es 1 si [texx]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/texx].

Dentro de las peculiaridades/usos de esta matriz por ahora me interesa en como se forma. Para cada punto [texx](x,y,z) \in \mathbb{S}^2[/texx] se determina el eje de rotación, que rota los puntos 180º. Entonces conociendo la forma que tiene una rotación de 180º en una base ortonormal bien orientada, no consigo encontrar dicha base ortonormal (para realizar [texx]P^{-1}R_\theta P[/texx]). Si [texx](x_0,y_0,z_0)[/texx] [texx] \in  \mathbb{S}^2[/texx]  el vector que une el origen con dicho punto es unitario, y me faltarían [texx]v_2[/texx], [texx]v_3[/texx] para completar la base ortonormal [texx]B[/texx].


Gracias de antemano! , Saludos.

Pd: Un uso de esta aplicación sería para probar que SO(3) como subespacio topológico de GL(3) es conexo.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 14/02/2018, 06:25:08 am »

Hola

Hola buenas tardes, tengo dudas sobre como formar la siguiente aplicación.
     Se considera [texx]f:\mathbb{S}^2 \rightarrow{SO(3)}[/texx] que va desde la [texx]2[/texx]-esfera, a el grupo ortogonal especial dada por:

           [texx]\begin{bmatrix}{2x^2 - 1}&{2xy}&{2xz}\\{2xy}&{2y^2 -1}&{2yz}\\{2xz}&{2yz}&{2z^2-1}\end{bmatrix}[/texx]. Entonces ha de cumplir que la imagen es una matriz ortogonal si su determinante es 1 (y calculando) se tiene que es 1 si [texx]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/texx].

Dentro de las peculiaridades/usos de esta matriz por ahora me interesa en como se forma. Para cada punto [texx](x,y,z) \in \mathbb{S}^2[/texx] se determina el eje de rotación, que rota los puntos 180º. Entonces conociendo la forma que tiene una rotación de 180º en una base ortonormal bien orientada, no consigo encontrar dicha base ortonormal (para realizar [texx]P^{-1}R_\theta P[/texx]). Si [texx](x_0,y_0,z_0)[/texx] [texx] \in  \mathbb{S}^2[/texx]  el vector que une el origen con dicho punto es unitario, y me faltarían [texx]v_2[/texx], [texx]v_3[/texx] para completar la base ortonormal [texx]B[/texx].
]

Dado que el giro es de [texx]180[/texx] grados yo usaría otra estrategía más cómoda. Tal giro equivale a una simetría respecto al eje. Si [texx]S[/texx] es la simetría, [texx]S=2P-id[/texx] donde [texx]P[/texx] es la proyección ortogonal sobre el eje. Tal proyección es:

[texx]P(x,y,z)=\left((x_0,y_0,z_0)\cdot (x,y,z)^t\right)(x_0,y_0,z_0)^t=(x_0,y_0,z_0)^t(x_0,y_0,z_0)(x,y,z)^t[/texx]

(ahí usamos que [texx]\|(x_0,y_0,z_0)\|=1[/texx], en otro caso habría que dividir por esa norma).

Matricialmente te queda:

[texx]P\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0& y_0& z_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_0^2 }&{x_0y_0}&{x_0z_0}\\{x_0y_0}&{y_0^2}&{y_0z_0}\\{x_0z_0}&{y_0z_0}&{z_0^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}[/texx]

Si ahora tomas [texx]2P-id[/texx] llegas a la matriz que indicabas.

Saludos.

P.D. También hay una fórmula directa para obtener una matriz de giro:

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_rotaci%C3%B3n#Rotaci%C3%B3n_en_torno_a_un_eje_arbitrario
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« Respuesta #2 : 14/02/2018, 04:19:16 pm »

Pues si resulta más sencillo hacerlo por una simetría al ser una rotación de 180º, y te das cuenta que [texx]S = 2 P - id[/texx], lo único que me chirría es como defines

[texx]P(x,y,z)=\left((x_0,y_0,z_0)\cdot (x,y,z)^t\right)(x_0,y_0,z_0)^t=(x_0,y_0,z_0)^t(x_0,y_0,z_0)(x,y,z)^t[/texx] en una proyección ortogonal yo pensaba que había que tomar bases ortogonales dependiendo del vector del eje dado y realizar dicho producto. La proyección sobre un eje consiste básicamente en llevar cada punto [texx](x,y,z)[/texx] al punto del eje con dirección [texx](x_0,y_0,z_0)[/texx] más próximo que se hace calculando la recta perpendicular y moviéndonos en esa dirección ahora mismo no logro ver toda esa información en dicho producto matricial [texx]\begin{bmatrix}x_0\\{y_0} \\{z_0}\end{bmatrix}  \begin{bmatrix}x_0,y_0,z_0\displaystyle\binom{}{}\end{bmatrix}[/texx].

Gracias por tu tiempo.

Saludos,
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« Respuesta #3 : 15/02/2018, 06:32:45 am »

Hola

Pues si resulta más sencillo hacerlo por una simetría al ser una rotación de 180º, y te das cuenta que [texx]S = 2 P - id[/texx],

Si, fíjate que es un procedimiento estandar, es decir no es una feliz idea ni nada. Es uno de los procedimientos típicos de hallar simetrías, usando su relación con las proyecciones ortogonales.

Cita
lo único que me chirría es como defines

[texx]P(x,y,z)=\left((x_0,y_0,z_0)\cdot (x,y,z)^t\right)(x_0,y_0,z_0)^t=(x_0,y_0,z_0)^t(x_0,y_0,z_0)(x,y,z)^t[/texx] en una proyección ortogonal yo pensaba que había que tomar bases ortogonales dependiendo del vector del eje dado y realizar dicho producto. La proyección sobre un eje consiste básicamente en llevar cada punto [texx](x,y,z)[/texx] al punto del eje con dirección [texx](x_0,y_0,z_0)[/texx] más próximo que se hace calculando la recta perpendicular y moviéndonos en esa dirección ahora mismo no logro ver toda esa información en dicho producto matricial [texx]\begin{bmatrix}x_0\\{y_0} \\{z_0}\end{bmatrix}  \begin{bmatrix}x_0,y_0,z_0\displaystyle\binom{}{}\end{bmatrix}[/texx].

Tienes dos formas de verlo:

1) Por la interpretación geométrica del producto escalar. Si [texx]u_1[/texx] es un vector unitario director del eje sobre el cual se proyecta, dado cualquier vector [texx]v[/texx]:

[texx]v\cdot u_1=\|v\|\|u_1\|cos(ang(v,u_1))=\|v\|cos(ang(v,u_1)) [/texx]

[texx]\|v\|cos(ang(v,u_1))[/texx] es justo la longitud (con signo) de la proyección de [texx]v[/texx] sobre el eje (haz un dibujo si quieres verlo mejor).

Si ahora multiplicamos tal longitud por [texx]u_1[/texx] (que es unitario en la dirección del eje)  es precisamente el vector proyección:

[texx]p(v)=(v\cdot u_1)u_1[/texx]

2) Si [texx]u_1[/texx] es un vector unitario director del eje sobre el cual se proyecta, el vector proyección de [texx]v[/texx] es necesariamente de la forma:

[texx]p(v)=a\, u_1[/texx]

cumple que su diferencia con el original es perpendicular al eje:

[texx](p(v)-v)\cdot u_1=0[/texx]

[texx]au_1u_1-vu_1=0[/texx]

de donde [texx]a=vu_1[/texx].

Por lo demás matricialmente esas cuentas son:

[texx]p(v)=(u_1^t\cdot v)\cdot u_1=u_1\cdot (u_1^t\cdot v)=(u_1\cdot u_1^t)\cdot v[/texx]

(nota que ([texx]u^1\cdot v[/texx]) es un número y da igual multiplicarlo al principio o al final).

Saludos.
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« Respuesta #4 : 15/02/2018, 11:24:50 am »

Entendido!

Muchas gracias por la explicación.

Saludos,
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