Dar una aplicación lineal que cumpla una serie de condiciones

[Frankie]

Buenas con un ejercicio más de álgebra. Dice así;

Da una aplicación lineal [texx]f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}}[/texx] que verifique que el vector [texx](1,2,-1)[/texx] pertenece al núcleo de [texx]f[/texx], que [texx]f(1,-1,0)=(3,1,2)[/texx] y que [texx]Im(f)[/texx] sea el subespacio de ecuación: [texx]x-y-z=0[/texx].

Calculo la matriz de la aplicación [texx]f[/texx] respecto a la base canónica.

Gracias de antemano

[Fernando Revilla]

Da una aplicación lineal [texx]f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}}[/texx] que verifique que el vector [texx](1,2,-1)[/texx] pertenece al núcleo de [texx]f[/texx], que [texx]f(1,-1,0)=(3,1,2)[/texx] y que [texx]Im(f)[/texx] sea el subespacio de ecuación: [texx]x-y-z=0[/texx].

Una base de [texx]\text{Im }f[/texx] te dará [texx]\left\{{(1,1,0), (1,0,1)}\right\}[/texx]. Entonces,

          [texx](3,1,2)=1(1,1,0)+2(1,0,1)\in \text{Im }f.[/texx]

Por hipótesis [texx]f(1,2,-1)=(0.0,0)[/texx] y [texx]f(1,-1,0)=(3,1,2)\in \text{Im }f[/texx]. Una base de [texx]\mathbb{Q}^3[/texx] es (por ejemplo)

          [texx]B=\left\{{(1,2,-1),(1,-1,0), (0,0,1)}\right\}.[/texx]

Entonces, la aplicación lineal [texx]f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}}[/texx] dada por

          [texx]f(1,2,-1)=(0.0,0)[/texx]
          [texx]f(1,-1,0)=(3,1,2)\in \text{Im }f[/texx]
          [texx]f(0,0,1)=(1,1,0)\in \text{Im }f[/texx]

satisface todas las condiciones pedidas.

Para expresar [texx]f[/texx] en la canónica puedes proceder como en el problema 3 de Cambio de base en aplicaciones lineales, con preferencia usa el segundo método.
         

[Frankie]

Muchas gracias Fernando, me ha quedado bastante claro, pero me piden dar una aplicación lineal a partir de esas condiciones. No sé cómo sería para sacar una aplicación a partir de esas.

Gracias.

[Fernando Revilla]

Muchas gracias Fernando, me ha quedado bastante claro, pero me piden dar una aplicación lineal a partir de esas condiciones. No sé cómo sería para sacar una aplicación a partir de esas.

No entiendo. La aplicación que te he dado está bien definida al dar los transformados de una base del espacio inicial y es fácil verificar que se cumplen las condiciones dadas. La última parte es técnica y tienes el método en el enlace que te proporcioné.

[Frankie]

Lo siento, Fernando. Aplicaciones Lineales hemos dado muy pocas y tengo poca idea, pero, ¿una aplicación lineal no viene dada como [texx]f(x,y,z)[/texx]?

[Fernando Revilla]

Lo siento, Fernando. Aplicaciones Lineales hemos dado muy pocas y tengo poca idea, pero, ¿una aplicación lineal no viene dada como [texx]f(x,y,z)[/texx]?

No necesariamente. También queda determinada dando los transformados de una base del espacio inicial. Si quieres expresarla de la forma [texx]f(x,y,z)=\ldots[/texx], considera la base canónica [texx]\left\{{e_1,e_2,e_3}\right\}[/texx] de [texx]\mathbb{Q}^3[/texx] halla [texx]f(e_1),f(e_2),f(e_3)[/texx] como en el enlace que te di y tendrás

          [texx]f(x,y,z)=f(xe_1+ye_2+ze_3)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)=\ldots[/texx]

[Frankie]

Estupendo, ¡gracias Fernando!