Da una aplicación lineal [texx]f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}}[/texx] que verifique que el vector [texx](1,2,-1)[/texx] pertenece al núcleo de [texx]f[/texx], que [texx]f(1,-1,0)=(3,1,2)[/texx] y que [texx]Im(f)[/texx] sea el subespacio de ecuación: [texx]x-y-z=0[/texx].
Una base de [texx]\text{Im }f[/texx] te dará [texx]\left\{{(1,1,0), (1,0,1)}\right\}[/texx]. Entonces,
[texx](3,1,2)=1(1,1,0)+2(1,0,1)\in \text{Im }f.[/texx]
Por hipótesis [texx]f(1,2,-1)=(0.0,0)[/texx] y [texx]f(1,-1,0)=(3,1,2)\in \text{Im }f[/texx]. Una base de [texx]\mathbb{Q}^3[/texx] es (por ejemplo)
[texx]B=\left\{{(1,2,-1),(1,-1,0), (0,0,1)}\right\}.[/texx]
Entonces, la aplicación lineal [texx]f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}}[/texx] dada por
[texx]f(1,2,-1)=(0.0,0)[/texx]
[texx]f(1,-1,0)=(3,1,2)\in \text{Im }f[/texx]
[texx]f(0,0,1)=(1,1,0)\in \text{Im }f[/texx]
satisface todas las condiciones pedidas.
Para expresar [texx]f[/texx] en la canónica puedes proceder como en el problema 3 de
Cambio de base en aplicaciones lineales, con preferencia usa el segundo método.