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Autor Tema: Dividir un polinomio entre otro  (Leído 412 veces)
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Frankie
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« : 12/02/2018, 03:43:39 pm »

\geq{}Hola de nuevo,

El ejercicio dice así;

Calcula el resto de dividir [texx]x^{17}+2[/texx] entre [texx]x+4[/texx] en [texx]\mathbb{Z_5}[/texx].

He comenzado de la siguiente forma;
[texx]x+4= x-(-4) = x-1[/texx] en [texx]\mathbb{Z_5}[/texx] acorde al teorema del resto.

También tenemos que [texx]mcd(1,5)=1[/texx] y que por lo tanto [texx]\exists{l \in{\mathbb{N \geq{1}}}} | 1^l \equiv{1 mód 5}[/texx]

No sé si voy bien encaminado, ya que cualquier [texx]l[/texx] cumpliría esa condición, y desde aquí ya no sé seguir...

Espero que me puedan ayudar a partir de aquí. ¡Gracias de antemano!
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 12/02/2018, 06:38:36 pm »

Hola:
\geq{}Hola de nuevo,

El ejercicio dice así;

Calcula el resto de dividir [texx]x^{17}+2[/texx] entre [texx]x+4[/texx] en [texx]\mathbb{Z_5}[/texx].

He comenzado de la siguiente forma;
[texx]x+4= x-(-4) = x-1[/texx] en [texx]\mathbb{Z_5}[/texx] acorde al teorema del resto.

También tenemos que [texx]mcd(1,5)=1[/texx] y que por lo tanto [texx]\exists{l \in{\mathbb{N \geq{1}}}} | 1^l \equiv{1 mód 5}[/texx]

No sé si voy bien encaminado, ya que cualquier [texx]l[/texx] cumpliría esa condición, y desde aquí ya no sé seguir...

Espero que me puedan ayudar a partir de aquí. ¡Gracias de antemano!
Supongo que el teorema del resto se puede aplicar en en [texx]\mathbb{Z_5}[/texx]
Por tanto el resto de la división es el mismo que si dividimos  [texx]P(x)=x^{17}+2[/texx] entre [texx]x-1 [/texx] , entonces:

[texx]resto=P(1)=3[/texx]

Saludos.
P.D.: ruego revisión
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Fernando Revilla
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« Respuesta #2 : 12/02/2018, 07:27:48 pm »

P.D.: ruego revisión

Es correcto.
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« Respuesta #3 : 12/02/2018, 07:33:38 pm »

Si no me equivoco [texx]x^{17}\equiv x\bmod 5[/texx] ya que [texx]x^{\varphi(n)}\equiv 1\bmod n[/texx] y [texx]\varphi(5)=4[/texx]. Entonces [texx]x^{17}+2\equiv x+2\bmod 5[/texx], por lo cual [texx]\frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1+3}{x-1}[/texx] por lo que el resto sería [texx]3[/texx].

Repito: podría haber cometido una brutalidad matemática, la teoría de números la tengo muy olvidada.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 12/02/2018, 08:14:37 pm »

Hola

Si no me equivoco [texx]x^{17}\equiv x\bmod 5[/texx] ya que [texx]x^{\varphi(n)}\equiv 1\bmod n[/texx] y [texx]\varphi(5)=4[/texx]. Entonces [texx]x^{17}+2\equiv x+2\bmod 5[/texx], por lo cual [texx]\frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1+3}{x-1}[/texx] por lo que el resto sería [texx]3[/texx].

Repito: podría haber cometido una brutalidad matemática, la teoría de números la tengo muy olvidada.

No es lo mismo el polinomio [texx]x^{17}[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_5[x ][/texx] que el conjunto de valores de [texx]x^{17}[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_5[/texx]. Ahí está la confusión.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 12/02/2018, 08:30:46 pm »

Hola

Si no me equivoco [texx]x^{17}\equiv x\bmod 5[/texx] ya que [texx]x^{\varphi(n)}\equiv 1\bmod n[/texx] y [texx]\varphi(5)=4[/texx]. Entonces [texx]x^{17}+2\equiv x+2\bmod 5[/texx], por lo cual [texx]\frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1+3}{x-1}[/texx] por lo que el resto sería [texx]3[/texx].

Repito: podría haber cometido una brutalidad matemática, la teoría de números la tengo muy olvidada.

No es lo mismo el polinomio [texx]x^{17}[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_5[x ][/texx] que el conjunto de valores de [texx]x^{17}[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_5[/texx]. Ahí está la confusión.

Saludos.

¿Pero el conjunto de valores de [texx]x^{17}[/texx] no está contenido en [texx]\{0,1,2,3,4\}[/texx]? Entonces se puede aplicar lo de antes. Si [texx]a\equiv b\bmod n[/texx] entonces se cumple que [texx]ka\equiv kb\bmod n[/texx] y [texx]a^k\equiv b^k\bmod n[/texx].
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 12/02/2018, 08:43:21 pm »

Hola

¿Pero el conjunto de valores de [texx]x^{17}[/texx] no está contenido en [texx]\{0,1,2,3,4\}[/texx]? Entonces se puede aplicar lo de antes. Si [texx]a\equiv b\bmod n[/texx] entonces se cumple que [texx]ka\equiv kb\bmod n[/texx] y [texx]a^k\equiv b^k\bmod n[/texx].

Pero precisamente el problema está en que no estamos hablando de conjunto de valores, sino de polinomios.

En el caso particular en el que dividimos por un polinomio de grado 1 el argumento que usas funciona, porque el resto es un número que por el Teorema del Resto equivale [texx]a[/texx] evaluar en el punto a si dividimos por [texx]x-a[/texx]; pero si no se aclara bien su alcance puede llevar a equívocos.

La igualdad [texx]x^{17}=x[/texx] mod [texx]5[/texx] es cierta para todo [texx]x\in \mathbb{Z}_5[/texx].

Pero no es lo mismo el polinomio [texx]x^{17}[/texx] que el polinomio [texx]x[/texx].

Por ejemplo el resto de dividir [texx]x^{17}[/texx] por [texx]x[/texx] es cero; pero el resto de dividir el polinomio [texx]x[/texx] por [texx]x^{17}[/texx] es [texx]x[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #7 : 13/02/2018, 01:33:12 pm »

Buenas a todos, y gracias por los comentarios.

La solución de robinlambada es correcta. Solo quería confirmar, en caso de que en lugar de dividir entre [texx]x-1[/texx] fuese entre [texx]x-4[/texx], por ejemplo, tendría que hacer [texx]4^{\varphi{(17)}}[/texx], ya que [texx]mcd(4,5)=1[/texx], ¿cierto?

Y ya desde ahí, proceder con las deducciones siguientes y sacar el resto, que eso sí se hacerlo.

Gracias a todos.
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« Respuesta #8 : 14/02/2018, 06:35:33 am »

Hola

Buenas a todos, y gracias por los comentarios.

La solución de robinlambada es correcta. Solo quería confirmar, en caso de que en lugar de dividir entre [texx]x-1[/texx] fuese entre [texx]x-4[/texx], por ejemplo, tendría que hacer [texx]4^{\varphi{(17)}}[/texx], ya que [texx]mcd(4,5)=1[/texx], ¿cierto?

No.

En general el resto de dividir [texx]p(x)[/texx] por [texx]x-a[/texx] es [texx]p(a)[/texx].

Entonces si quieres hallar el resto de dividir [texx]p(x)=x^{17}[/texx] por [texx]x-4[/texx] tienes que hallar [texx]p(4)=4^{17}[/texx].

Si trabajas en [texx]\mathbb{Z}_5[/texx] tendrías que hallar [texx]4^{17}[/texx] mod [texx]5[/texx]. Para ello:

1) Puedes usar el Teorema de Euler y dado que [texx]mcd(4,5)=1[/texx]:

[texx]4^{\varphi(5)}=1[/texx] mod [texx]5[/texx]

te queda [texx]4^4=1[/texx] mod [texx]5[/texx]. Por tanto:

[texx]4^{17}=4^{4\cdot 4+1}=4^1=4[/texx] mod [texx]5[/texx]

2) O bien en ese caso dado que [texx]4=-1[/texx] mod [texx]5[/texx] es más rápido:

[texx]4^{17}=(-1)^{17}=-1=4[/texx] mod [texx]5[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #9 : 16/02/2018, 01:39:27 pm »

Genial, todo muy claro. ¡Gracias Luis!
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