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Autor Tema: Calcula la tres últimas cifras de \(16^{3152}\) en base 3  (Leído 180 veces)
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Frankie
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« : 12/02/2018, 07:04:49 am »

Hola,

Un nuevo problema de álgebra que dice así;

Calcula las tres últimas cifras de [texx]16^{3152}[/texx] en base 3.

Tengo algo de idea de por dónde empezar, pero no sé cómo seguir...

¡Gracias de antemano!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/02/2018, 07:10:46 am »

Hola

Un nuevo problema de álgebra que dice así;

Calcula las tres últimas cifras de [texx]16^{3152}[/texx] en base 3.

Tengo algo de idea de por dónde empezar, pero no sé cómo seguir...

Sería buen que hubieses dicho como has empezado y a partir de donde no sabes seguir.

Sea como sea en general nota que las [texx]n[/texx] últimas cifras de un número en base [texx]b[/texx] sólo dependen de su resto módulo [texx]b^n[/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Entonces calcula [texx]16^{3152}[/texx] mod [texx]3^3[/texx]. Para ello aplica el Teorema de Euler.

Saludos.
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Frankie
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« Respuesta #2 : 12/02/2018, 08:03:42 am »

Hola Luis,

Gracias una vez más por la pronta respuesta. No estoy seguro de cómo proceder. Como 16 no es primo, ¿cómo hago para aplicar la función [texx]\varphi[/texx] de Euler? ¿Tendría que hacer algo como [texx](2^4)^{\varphi{(3152)}}[/texx] mod [texx]3^3[/texx]?

El libro que tenemos de la asignatura es desastroso y viene muy mal explicado, y los vídeos de YouTube tampoco ayudan en estos casos particulares.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 12/02/2018, 08:18:44 am »

Hola

Gracias una vez más por la pronta respuesta. No estoy seguro de cómo proceder. Como 16 no es primo, ¿cómo hago para aplicar la función [texx]\varphi[/texx] de Euler? ¿Tendría que hacer algo como [texx](2^4)^{\varphi{(3152)}}[/texx] mod [texx]3^3[/texx]?

Lo que necesitas para aplicar el Teorema de Euler: [texx]a^{\varphi(n)}=1[/texx] mod [texx]n[/texx] es que [texx]a[/texx] y [texx]n[/texx] sean coprimos.

En tu caso [texx]a=16[/texx] y [texx]n=3^3=27[/texx] son coprimos; puedes aplicarlo.

Tienes:

[texx]\varphi(27)=\varphi(3^3)=(3-1)3^2=18[/texx]

Por tanto [texx]16^{18}=1[/texx] mod [texx]27[/texx] y así:

[texx]16^{3152}=16^r[/texx] mod [texx]27[/texx]

donde [texx]r[/texx] es el resto de dividir [texx]3152[/texx] por [texx]18[/texx].

Continúa...

Saludos.
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« Respuesta #4 : 12/02/2018, 02:31:21 pm »

Gracias una vez más Luis. Por si alguien quiere comprobar, el resultado en base 3 es 111.
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