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Autor Tema: Función implícita y regla de la cadena.  (Leído 82 veces)
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adrs
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« : 11/02/2018, 11:12:55 pm »

Hola, si tengo mi función  [texx] F(x,y,z)[/texx] y aplicando el teorema de función implícita obtengo [texx]z = \varphi (x,y)[/texx] 

Se que la derivada de [texx]\varphi (x,y)[/texx] segun x e y seria:

[texx] \frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{-\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}[/texx]


[texx] \frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{-\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}[/texx]


Si quiero obtener la derivada segunda de  [texx]\varphi (x,y)[/texx] segun x e y, tengo que aplicar regla de la cadena y la típica formula de derivación de una fracción, no encuentro en ningun lugar que hagan esa operación, a mi me quedo así pero no se si esta bien.
Se que son cuentas engorrosas pero agradecería mucho si alguien se sacrifica y me dice si llega a lo mismo!  :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia:

[texx] \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}  = -( \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial F}{\partial x \partial z}\frac{\partial \varphi}{\partial x}) \frac{\partial F}{\partial z} + (\frac{\partial F}{\partial z \partial x}+ \frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial \varphi}{\partial x})\frac{\partial F}{\partial x}[/texx]  Todo dividido [texx] (\frac{\partial F}{\partial z})^2[/texx]


[texx] \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}  = -( \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} + \frac{\partial F}{\partial y \partial z}\frac{\partial \varphi}{\partial y}) \frac{\partial F}{\partial z} + (\frac{\partial F}{\partial z \partial y}+ \frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial \varphi}{\partial y})\frac{\partial F}{\partial y}[/texx]  Todo dividido [texx] (\frac{\partial F}{\partial z})^2[/texx]


[texx] \frac{\partial \varphi}{\partial x \partial y}  = -( \frac{\partial F}{\partial x \partial y} + \frac{\partial F}{\partial x \partial z}\frac{\partial \varphi}{\partial y}) \frac{\partial F}{\partial z} + (\frac{\partial F}{\partial z \partial y}+ \frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial \varphi}{\partial y})\frac{\partial F}{\partial x}[/texx]  Todo dividido [texx] (\frac{\partial F}{\partial z})^2[/texx]


(Me costo mas escribirlo que llegar al resultado, espero que este bien   :sonrisa_amplia:)


Saludos!







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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 12/02/2018, 06:25:45 am »

Hola

 Está bien.

 A efectos de notación es cómodo a veces marcar las parciales como subíndices:

[texx] \dfrac{\partial F}{\partial x}=F_x,\qquad  \dfrac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=F_{xy}[/texx]

 etcétera...

 Entonces las derivadas primeras son:

[texx] \varphi_x=\dfrac{-F_x}{F_z}[/texx]
[texx] \varphi_y=\dfrac{-F_y}{F_z}[/texx]

 y por ejemplo:

[texx] \varphi_x=\dfrac{F_z(-F_{xx}-F_{xz}\cdot \varphi_x)+F_x(F_{zx}+F_{zz}\cdot \varphi_x)}{F_z^2}[/texx]

 Si todavía quieres dejar todo sólo en función de [texx]F[/texx] y sus parciales deberías de sustituir [texx] \varphi_x=\dfrac{-F_x}{F_z}[/texx].

Saludos.
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adrs
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« Respuesta #2 : 12/02/2018, 12:01:36 pm »

Genial ! gracais!  Aplauso
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