Ecuación diofántica y calcular suma más próxima a 1000

[Frankie]

El ejercicio es el siguiente;

Dada la ecuación [texx]9257x + 8610y = 10[/texx], di si tiene solución y en caso afirmativo, calcula aquella cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Con el algoritmo extendido de Euclides he obtenido que el [texx]mcd(9257,8610) = 1[/texx] y los coeficientes de Bezout son [texx]x=173[/texx] e [texx]y=-186[/texx]. El problema viene en la segunda parte del problema, no sé cómo proceder para encontrar una solución cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Gracias de antemano.

[robinlambada]

Hola.

El ejercicio es el siguiente;

Dada la ecuación [texx]9257x + 8610y = 10[/texx], di si tiene solución y en caso afirmativo, calcula aquella cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Con el algoritmo extendido de Euclides he obtenido que el [texx]mcd(9257,8610) = 1[/texx] y los coeficientes de Bezout son [texx]x=173[/texx] e [texx]y=-186[/texx]. El problema viene en la segunda parte del problema, no sé cómo proceder para encontrar una solución cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Gracias de antemano.

Has hecho lo más dificil. Solo te falta poner la solución general e imponer [texx]x+y=1000
[/texx]
Es decir.

Tienes una solución particular: [texx]9257\cdot{}173 + 8610\cdot{}(-186) = 1\Leftrightarrow{}9257\cdot{}1730 + 8610\cdot{}(-1860) = 10[/texx]

Solución particular [texx](1730,-1860)[/texx]

La general, es la solución general de la ec. homogénea más una solución particular de la no homogénea.

Por ello [texx]\begin{cases}x=-8610t+1730 \\y=9257t-1860\end{cases}[/texx]

Solo tienes que imponer [texx]x+y=1000[/texx]

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Hola.

El ejercicio es el siguiente;

Dada la ecuación [texx]9257x + 8610y = 10[/texx], di si tiene solución y en caso afirmativo, calcula aquella cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Con el algoritmo extendido de Euclides he obtenido que el [texx]mcd(9257,8610) = 1[/texx] y los coeficientes de Bezout son [texx]x=173[/texx] e [texx]y=-186[/texx]. El problema viene en la segunda parte del problema, no sé cómo proceder para encontrar una solución cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Gracias de antemano.

Has hecho lo más dificil. Solo te falta poner la solución general e imponer [texx]x+y=1000
[/texx]
Es decir.

Tienes una solución particular: [texx]9257\cdot{}173 + 8610\cdot{}(-186) = 1\Leftrightarrow{}9257\cdot{}1730 + 8610\cdot{}(-1860) = 10[/texx]

Solución particular [texx](1730,-1860)[/texx]

La general, es la solución general de la ec. homogénea más una solución particular de la no homogénea.

Por ello [texx]\begin{cases}x=-8610t+1730 \\y=9257t-1860\end{cases}[/texx]

Solo tienes que imponer [texx]x+y=1000[/texx]

Saludos.

Para visualizarlo:


Saludos,

[Frankie]

Has hecho lo más dificil. Solo te falta poner la solución general e imponer [texx]x+y=1000
[/texx]
Es decir.

Tienes una solución particular: [texx]9257\cdot{}173 + 8610\cdot{}(-186) = 1\Leftrightarrow{}9257\cdot{}1730 + 8610\cdot{}(-1860) = 10[/texx]

Solución particular [texx](1730,-1860)[/texx]

La general, es la solución general de la ec. homogénea más una solución particular de la no homogénea.

Por ello [texx]\begin{cases}x=-8610t+1730 \\y=9257t-1860\end{cases}[/texx]

Solo tienes que imponer [texx]x+y=1000[/texx]

Saludos.

Hola robinlambada,

Gracias por la pronta respuesta. He hecho los cálculos forzando a que se cumpliese que [texx]x+y=1000[/texx] y me ha salido como solución [texx]t=870/647[/texx]. ¿Qué hago con esa solución? ¿Sustituyo [texx]t[/texx] en cada ecuación y de ahí saco los valores de [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx]?

Para visualizarlo:


Saludos,

¡Gracias Ignacio!

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por la pronta respuesta. He hecho los cálculos forzando a que se cumpliese que [texx]x+y=1000[/texx] y me ha salido como solución [texx]t=870/647[/texx]. ¿Qué hago con esa solución? ¿Sustituyo [texx]t[/texx] en cada ecuación y de ahí saco los valores de [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx]?

Pero ten en cuenta que [texx]t[/texx] tiene que ser entero. Dado que [texx]x+y[/texx] es una función creciente en [texx]t,[/texx] lo que deduces es que el valor más próximo a [texx]1000[/texx] se alcanza o bien cuando [texx]t=[870/647]=1[/texx] ó bien [texx]t=[870/647]+1=2[/texx]. Comprueba cual de los dos se acerca más. Esto lo verás muy bien en el gráfico de Ignacio.

Saludos.

P.D. [texx][x ][/texx] denota la función parte entera.

[Frankie]

Es cierto Luis, no había tenido en cuenta esa consideración y es cierto que para [texx]t=2[/texx] el valor de [texx]x+y[/texx] es más próximo a 1000 que para [texx]t=1[/texx]. Muchas gracias por la aclaración.