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Autor Tema: 5/49 ¿es racional?  (Leído 177 veces)
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Nano
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« : 10/02/2018, 11:30:18 am »

Hasta mis profesores dudan al explicarlo, respondiendo uno con soberbia "es racional", el otro dudando, titubeando y confundido. Cuestión que nadie logra concluir que es! Hemos tratado de conseguir la respuesta con varios compañeros. Pero no la conseguimos. Pues:

5/49 es cociente entre dos números primos entre si, lo cual lo define como racional. El denominador 49 no es divisible ni por 2 ni por 5, por lo cual 5/49 es un número decimal NO exacto (o no nulo). Lo cual implica que 5/49 es racional decimal con período. El problema surge al realizar la división entre 5 y 49. El resultado da como resultado un número decimal no periódico e... ¿infinito? Si un número decimal es infinito NO periódico, ¿es acaso un irracional? ¿Cómo puede concluirse esta situación? ¿Cómo demostrarlo? ¿Acaso la periodicidad es muy extensa como para calcularla? Ayuda por favor!  :BangHead:
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sugata
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« Respuesta #1 : 10/02/2018, 11:41:37 am »

Es racional por definición.
Tendrá un periodo muy grande.
Fijate que al ir dividiendo vas generando restos entre 1 y 48, por lo que en algún momento se tiene que repetir el resto y ahí empezará a repetirse.
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feriva
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« Respuesta #2 : 10/02/2018, 12:10:39 pm »



Hola. Según Wolfram el periodo es

0.102040816326530612244897959183673469387755

Saludos.
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Abdulai
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« Respuesta #3 : 10/02/2018, 12:12:34 pm »

... ¿Acaso la periodicidad es muy extensa como para calcularla?

El período es 42, es extensa para calcular a mano, pero nada del otro mundo

[texx]\dfrac{5}{49}\approx 0.102040816326530612244897959183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102040816326530612244897959183673469387755\cdots[/texx]

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Masacroso
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« Respuesta #4 : 10/02/2018, 12:25:09 pm »

Es racional por definición, como dice sugata. Es decir, los números racionales se definen como todos los números que son división de dos enteros (exceptuando la división por cero, que no está definida).

Lo que ocurre es que al representar los números en una base numérica decimal, cualquier racional [texx]a/b[/texx] tendrá una representación finita si y solo si [texx]b=2^n\cdot 5^m[/texx] para algún par [texx]n,m\in\Bbb N_{\ge 0}[/texx].

Entonces, lo común, es que la mayoría de números racionales que encontremos no tengan una representación decimal finita, sino únicamente una representación de infinitas cifras, las cuales se repiten con cierto período.
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sugata
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« Respuesta #5 : 10/02/2018, 12:41:32 pm »

Por cierto, tus profesores deberían hacérselo mirar, el primero por soberbio y poco docente y el segundo por dudar de una cuestión tan básica.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #6 : 10/02/2018, 02:08:57 pm »

Hasta mis profesores dudan al explicarlo, respondiendo uno con soberbia "es racional", el otro dudando, titubeando y confundido. Cuestión que nadie logra concluir que es! Hemos tratado de conseguir la respuesta con varios compañeros. Pero no la conseguimos. Pues:

5/49 es cociente entre dos números primos entre si, lo cual lo define como racional. El denominador 49 no es divisible ni por 2 ni por 5, por lo cual 5/49 es un número decimal NO exacto (o no nulo). Lo cual implica que 5/49 es racional decimal con período. El problema surge al realizar la división entre 5 y 49. El resultado da como resultado un número decimal no periódico e... ¿infinito? Si un número decimal es infinito NO periódico, ¿es acaso un irracional? ¿Cómo puede concluirse esta situación? ¿Cómo demostrarlo? ¿Acaso la periodicidad es muy extensa como para calcularla? Ayuda por favor!  :BangHead:

Como queda dicho por otros, es racional por definición, por ser el cociente de dos números enteros. Su período es largo, pero siempre tiene que ser menor que el denominador. Menor o igual incluso que [texx]\varphi(d)[/texx], siendo [texx]d[/texx] el denominador y [texx]\varphi(d[/texx]) la función totient de Euler, igual a la cantidad de números primos con [texx]d[/texx] y menores que [texx]d[/texx]. En este caso es [texx]\varphi(49) = 7^2 - 7 = 42[/texx] y el período de esa fracción es lo mayor que podría ser.

Saludos,
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sugata
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« Respuesta #7 : 10/02/2018, 03:27:13 pm »

Hasta mis profesores dudan al explicarlo, respondiendo uno con soberbia "es racional", el otro dudando, titubeando y confundido. Cuestión que nadie logra concluir que es! Hemos tratado de conseguir la respuesta con varios compañeros. Pero no la conseguimos. Pues:

5/49 es cociente entre dos números primos entre si, lo cual lo define como racional. El denominador 49 no es divisible ni por 2 ni por 5, por lo cual 5/49 es un número decimal NO exacto (o no nulo). Lo cual implica que 5/49 es racional decimal con período. El problema surge al realizar la división entre 5 y 49. El resultado da como resultado un número decimal no periódico e... ¿infinito? Si un número decimal es infinito NO periódico, ¿es acaso un irracional? ¿Cómo puede concluirse esta situación? ¿Cómo demostrarlo? ¿Acaso la periodicidad es muy extensa como para calcularla? Ayuda por favor!  :BangHead:

Como queda dicho por otros, es racional por definición, por ser el cociente de dos números enteros. Su período es largo, pero siempre tiene que ser menor que el denominador. Menor o igual incluso que [texx]\varphi(d)[/texx], siendo [texx]d[/texx] el denominador y [texx]\varphi(d[/texx]) la función totient de Euler, igual a la cantidad de números primos con [texx]d[/texx] y menores que [texx]d[/texx]. En este caso es [texx]\varphi(49) = 7^2 - 7 = 42[/texx] y el período de esa fracción es lo mayor que podría ser.

Saludos,

No conocía esa función. La he buscado y es muy interesante.

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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #8 : 10/02/2018, 03:49:27 pm »

Hasta mis profesores dudan al explicarlo, respondiendo uno con soberbia "es racional", el otro dudando, titubeando y confundido. Cuestión que nadie logra concluir que es! Hemos tratado de conseguir la respuesta con varios compañeros. Pero no la conseguimos. Pues:

5/49 es cociente entre dos números primos entre si, lo cual lo define como racional. El denominador 49 no es divisible ni por 2 ni por 5, por lo cual 5/49 es un número decimal NO exacto (o no nulo). Lo cual implica que 5/49 es racional decimal con período. El problema surge al realizar la división entre 5 y 49. El resultado da como resultado un número decimal no periódico e... ¿infinito? Si un número decimal es infinito NO periódico, ¿es acaso un irracional? ¿Cómo puede concluirse esta situación? ¿Cómo demostrarlo? ¿Acaso la periodicidad es muy extensa como para calcularla? Ayuda por favor!  :BangHead:

Como queda dicho por otros, es racional por definición, por ser el cociente de dos números enteros. Su período es largo, pero siempre tiene que ser menor que el denominador. Menor o igual incluso que [texx]\varphi(d)[/texx], siendo [texx]d[/texx] el denominador y [texx]\varphi(d[/texx]) la función totient de Euler, igual a la cantidad de números primos con [texx]d[/texx] y menores que [texx]d[/texx]. En este caso es [texx]\varphi(49) = 7^2 - 7 = 42[/texx] y el período de esa fracción es lo mayor que podría ser.

Saludos,

No conocía esa función. La he buscado y es muy interesante.


Yo diría que es la función más importante en Teoría de Números. Por cierto que se puede precisar un poco más sobre el período de una fracción: no solo es menor o igual que [texx]\varphi(d)[/texx], sino que es un divisor suyo.

Saludos,
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« Respuesta #9 : 10/02/2018, 03:54:46 pm »

¿Cómo demostrarlo? ¿Acaso la periodicidad es muy extensa como para calcularla?

Eso es relativo o no objetivo; en realidad se puede expresar con un solo "decimal".

Una forma de verlo es dividir en una base adecuada, en este casó qua sea múltiplo de 7.

Cuando divides a mano y el dividendo es menor que el divisor, añades un cero y, al hacerlo, estás partiendo cada unidad en 10 trozos más pequeños: así, al dividir eso, haces 50 para que sea mayor que 49; y pones un cero y una coma en el cociente.

Pero hacer diez partes la unidad no es más que una elección, lo habitual; cuando tú partes una barra de pan para 3 personas no la divides en diez trozos, haces directamente 3 trozos iguales, usas base 3.

En este caso, si hacemos 7 trozos de las cinco unidades, tendríamos 35 trozos, que sigue siendo menor que 49, pero nada impide tomar el propio 49 como base, al iguala que con la barra de pan; entonces tendrás, cuando añades el cero al dividir, que 50 quiere decir [texx]5\cdot49=254
 [/texx] partes en vez de cincuenta. Y ya está, cero al cociente con la coma y te queda [texx](0,5)_{49}
 [/texx], o sea 0,5 en base 49, que es equivalente a ese número tan largo y periódico que queda en base diez.

En realidad, la periocidad inacabable la produce el hecho de dividir siempre en una base fija, sin adaptarnos a la divisibilidad; así, se puede decir que los números racionales nunca tienen infinitos decimales realmente; el que aparezcan infinitos periodos es una cuestión más operativa que otra cosa.

Luego es racional, porque un número irracional no tiene una cantidad finita de cifras en ninguna base.

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #10 : 10/02/2018, 07:34:32 pm »

Hola

Yo diría que es la función más importante en Teoría de Números. Por cierto que se puede precisar un poco más sobre el período de una fracción: no solo es menor o igual que [texx]\varphi(d)[/texx], sino que es un divisor suyo.

Algo sobre esto se discutió aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=88140.20

Saludos.
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« Respuesta #11 : 11/02/2018, 11:48:21 am »

Desde ya, muchas gracias a todos. Realmente me han ayudado muchisimo. Son muy grosos. Entender es la base. Y tener un profesor que no te explique el por qué atenta contra esto. Gracias! Aplauso
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