Bases de un espacio vectorial

[Dongatomate]

Buenas noches, tengo el siguiente problema:

Si {[texx]u,v,w[/texx]} es una base del espacio vectorial [texx]\mathbb{V}[/texx]; entonces {[texx]2w+2v,-2v-2u,-u+w[/texx]} es base de [texx]\mathbb{V}[/texx].

Lo que yo hice fue primero comprobar si el conjunto nuevo es LI;

[texx]0=α_1(2w+2v)+α_2(-2v-2u)+α_3(-u+w)[/texx]

Reduciendo el sistema me queda un sist. compatible indeterminado, es decir, los 3 escalares no nulos.

¿Puedo afirmar que el conjunto no es base de [texx]\mathbb{V}[/texx]?

[Fernando Revilla]

¿Puedo afirmar que el conjunto no es base de [texx]\mathbb{V}[/texx]?

Sí, es correcto.

[Dongatomate]

Disculpa, me surgio una duda. Plantee la combinacion lineal y me quedo de la siguiente manera

[texx]α_1(2w+2v)+α_2(-2v-2u)+α_3(-u+w)=0[/texx]

y luego;

[texx](-2α_2-α_3)u+(2α_1-2α_2)v+(2α_1+α_3)w=0[/texx]

y por ser {u,v,w} base de [texx]\mathbb{v}[/texx]

[texx](-2α_2-α_3)=0[/texx]
[texx](2α_1-2α_2)=0[/texx]
[texx](2α_1+α_3)=0[/texx]

despejando me quedan las siguientes ecuaciones

[texx]α_3=-2α_2[/texx]
[texx]α_1=α_2[/texx]
[texx]α_3=-2α_1[/texx]

Lo remplazo en la primera combinación lineal;

y me queda;

[texx]0=α_2(2w+2v)+α_2(-2v-2u)-2α_2(-u+w)[/texx]

quedándome como resultado

[texx]α_2=0[/texx] y por las ecuaciones que obtuve del sistema lineal [texx]α_1=α_2=α_3=0[/texx]

por lo tanto el conjunto que estoy analizando es LI.

¿Es correcto el análisis?
 

[Luis Fuentes]

Hola

Disculpa, me surgio una duda. Plantee la combinacion lineal y me quedo de la siguiente manera

[texx]α_1(2w+2v)+α_2(-2v-2u)+α_3(-u+w)=0[/texx]

y luego;

[texx](-2α_2-α_3)u+(2α_1-2α_2)v+(2α_1+α_3)w=0[/texx]

y por ser {u,v,w} base de [texx]\mathbb{v}[/texx]

[texx](-2α_2-α_3)=0[/texx]
[texx](2α_1-2α_2)=0[/texx]
[texx](2α_1+α_3)=0[/texx]

despejando me quedan las siguientes ecuaciones

[texx]α_3=-2α_2[/texx]
[texx]α_1=α_2[/texx]
[texx]α_3=-2α_1[/texx]

Lo remplazo en la primera combinación lineal;

y me queda;

[texx]0=α_2(2w+2v)+α_2(-2v-2u)-2α_2(-u+w)[/texx]

quedándome como resultado

[texx]α_2=0[/texx]

Pero de ahí no se deduce que [texx]\alpha_2=0[/texx]. La expresión en rojo es una identidad, es decir, es nula para cualquier valor de  [texx]\alpha_2[/texx].

Saludos.

[Dongatomate]

Ah, tienes razón, entonces en el sistema de ecuaciones que armo la única solución posible tendría que ser la trivial para concluir que el conjunto es LI?

[Fernando Revilla]

... la única solución posible tendría que ser la trivial para concluir que el conjunto es LI?

Así es.