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Autor Tema: Hallar dominio y calcular asíntotas  (Leído 608 veces)
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Vickivictoria
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« : 05/02/2018, 01:07:39 pm »

[texx]\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}-\sqrt[ ]{2+×^2}}{5x}[/texx]

[texx]5x=0[/texx]
[texx]x=0[/texx]

[texx]-x+2\geq{0}[/texx]
[texx]x\leq{2}[/texx]

Dominio:[texx]x\leq{2}[/texx]- {0}
Si calculé bien el dominio y me da un intervalo, como calculo asíntota vertical? Gracias.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 05/02/2018, 02:16:28 pm »

Sí, el dominio es [texx]D(f)=(-\infty,2]-\left\{{0}\right\}[/texx]. La única posible asíntota vertical sería [texx]x=0[/texx] pero [texx]\lim_{x \to 0}{f(x)}=\ldots=-1/10\sqrt{2}[/texx], luego no es asíntota.

Para [texx]x\to +\infty[/texx] ho hay asíntota horizontal por las características del dominio, pero [texx]y=\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=\ldots =-1/5[/texx] es asíntota horizontal.
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Vickivictoria
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« Respuesta #2 : 05/02/2018, 04:36:44 pm »

Necesito ayuda para la asintota vertical no se como seguir

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}-\sqrt[ ]{2+x^2}}{5x}*\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}{\sqrt[ ]{2+x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}}[/texx]

multiplico y simplifico...

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{2-x-2+x^2}{5x(\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}[/texx]

Agrupo...

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{x^2-x}{5x\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{x*(x-1)}{5x\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}}[/texx]
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robinlambada
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« Respuesta #3 : 05/02/2018, 04:59:33 pm »

Hola.
Necesito ayuda para la asintota vertical no se como seguir

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}-\sqrt[ ]{2+x^2}}{5x}*\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}{\sqrt[ ]{2+x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}}[/texx]

multiplico y simplifico...

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{2-x-2+x^2}{5x(\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}[/texx]

Agrupo...

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{x^2-x}{5x\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{x*(x-1)}{5x\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}}[/texx]

No lo ves ,porque la última expresión está mal, se te han olvidado los paréntesis del denominador, para cancelar las  equis.

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{2-x-2\color{red}-\color{black}x^2}{5x(\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}=\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\cancel{x}(\color{red}-\color{black}x-1)}{5\cancel{x}(\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}=\displaystyle\frac{-1}{10\, \sqrt[ ]{2}}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 05/02/2018, 05:51:49 pm »

No entiendo como es que llegas a que el denominador quede de esa manera.
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robinlambada
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« Respuesta #5 : 05/02/2018, 06:06:46 pm »

No entiendo como es que llegas a que el denominador quede de esa manera.

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{\cancel{x}(\color{red}-\color{black}x-1)}{5\cancel{x}(\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}=\displaystyle\frac{(0-1)}{5(\sqrt[ ]{2-0}+\sqrt[ ]{2+0^2})}=\displaystyle\frac{-1}{5\cdot{}2\, \sqrt[ ]{2}}=\displaystyle\frac{-1}{10\, \sqrt[ ]{2}}[/texx]

Gracias iambo ,copie y pegue el error
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« Respuesta #6 : 05/02/2018, 06:43:00 pm »

Buenas,

Hay una errata en el numerador, no sé si es por lo que Vickivictoria no lo ve claro porque ella tiene el mismo fallo:

[texx]2-x-2\color{red}+\color{black}x^2[/texx] debe ser [texx]2-x-2-x^2[/texx] y queda [texx]x\,(-x-1)[/texx]

Aunque el resultado del límite no varía.

Saludos.

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« Respuesta #7 : 05/02/2018, 06:47:41 pm »

Gracias por ayudarme.
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« Respuesta #8 : 05/02/2018, 07:24:52 pm »

No entiendo cual es mi error, me lo podes explicar, por favor?

Buenas,

Hay una errata en el numerador, no sé si es por lo que Vickivictoria no lo ve claro porque ella tiene el mismo fallo:

[texx]2-x-2\color{red}+\color{black}x^2[/texx] debe ser [texx]2-x-2-x^2[/texx] y queda [texx]x\,(-x-1)[/texx]

Aunque el resultado del límite no varía.

Saludos.


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sugata
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« Respuesta #9 : 06/02/2018, 04:50:14 am »

[texx](\sqrt[ ]{2-x})^2-(\sqrt[ ]{2+x^2})^2=(2-x)-(2+x^2)=2-x-2-x^2[/texx]
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Vickivictoria
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« Respuesta #10 : 11/02/2018, 01:27:43 pm »

Al calcular la asíntota horizontal, realizo los mismos pasos para la asintota vertical, pero no se como continuar, llegué hasta aqui...
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{x(-x-1)}{5x (\sqrt[ ]{(2-x)}+\sqrt[ ]{(2+x^2)}}}[/texx]
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #11 : 11/02/2018, 02:27:29 pm »

Al calcular la asíntota horizontal, realizo los mismos pasos para la asintota vertical, pero no se como continuar, llegué hasta aqui...
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{x(-x-1)}{5x (\sqrt[ ]{(2-x)}+\sqrt[ ]{(2+x^2)}}}[/texx]


Es importante distinguir si [texx]x\rightarrow{}+\infty\textrm{ o si }x\rightarrow{}-\infty[/texx]. Si no le antepones ningún signo, se supone que debe ser [texx]+\infty[/texx], pero voy a hacerlo en los dos casos:

En principio es igual, divide por [texx]x[/texx] numerador y denominador y saca factor común [texx]x^2[/texx] dentro de las raíces cuadradas:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{x(-x-1)}{5x (\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}
     =\displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5 (\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}
     =\displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]
     {\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
[/texx]

Puesto que [texx]\sqrt[ ]{x^2}=\left |{x}\right |[/texx]. Pero

[texx]\left |{x}\right |=\begin{cases} x & \text{si}& x \geq{}0\\-x & \text{si}& x < 0\end{cases}[/texx]

Entonces, ahora debemos diferenciar:

[texx]\cancel{\displaystyle\lim_{x \to{}+\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
     =\displaystyle\lim_{x \to{}+\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}
     =-\dfrac{1}{5}     }
[/texx]

No puede hacerse ese límite puesto que la función no está definida para x > 2, a causa de la primera raíz del denominador.

Y

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
     =\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(-x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}-x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}
     =\dfrac{1}{5}     
[/texx]

Saludos,

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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
Vickivictoria
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« Respuesta #12 : 14/02/2018, 12:14:45 am »

No entiendo como es que llegaste a que te de [texx]\displaystyle\frac{1}{5}[/texx]


Al calcular la asíntota horizontal, realizo los mismos pasos para la asintota vertical, pero no se como continuar, llegué hasta aqui...
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{x(-x-1)}{5x (\sqrt[ ]{(2-x)}+\sqrt[ ]{(2+x^2)}}}[/texx]


Es importante distinguir si [texx]x\rightarrow{}+\infty\textrm{ o si }x\rightarrow{}-\infty[/texx]. Si no le antepones ningún signo, se supone que debe ser [texx]+\infty[/texx], pero voy a hacerlo en los dos casos:

En principio es igual, divide por [texx]x[/texx] numerador y denominador y saca factor común [texx]x^2[/texx] dentro de las raíces cuadradas:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{x(-x-1)}{5x (\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}
     =\displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5 (\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2})}}
     =\displaystyle\lim_{x \to{}\pm{}\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]
     {\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
[/texx]

Puesto que [texx]\sqrt[ ]{x^2}=\left |{x}\right |[/texx]. Pero

[texx]\left |{x}\right |=\begin{cases} x & \text{si}& x \geq{}0\\-x & \text{si}& x < 0\end{cases}[/texx]

Entonces, ahora debemos diferenciar:

[texx]\cancel{\displaystyle\lim_{x \to{}+\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
     =\displaystyle\lim_{x \to{}+\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}
     =-\dfrac{1}{5}     }
[/texx]

No puede hacerse ese límite puesto que la función no está definida para x > 2, a causa de la primera raíz del denominador.

Y

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\left |{x}\right |\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}} \\
     =\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(-x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}-x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}
     =\dfrac{1}{5}     
[/texx]

Saludos,


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Luis Fuentes
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« Respuesta #13 : 14/02/2018, 05:42:26 am »

Hola

No entiendo como es que llegaste a que te de [texx]\displaystyle\frac{1}{5}[/texx]

Desde aquí:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5\left(-x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}-x\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}  [/texx]

divide numerador y denominador por [texx]x[/texx] y concluye.

Saludos.
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« Respuesta #14 : 27/02/2018, 11:43:23 pm »

No entiendo si al dividir (en el denominador)[texx]\displaystyle\frac{5}{x}[/texx] al reemplazar a la x por[texx]-\infty[/texx] da cero y al multiplicar el resto, sigue siendo cero. Cada término del denominador lo divido por x.
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« Respuesta #15 : 27/02/2018, 11:47:46 pm »

Si sacas la x como factor común te queda

[texx]5\dfrac{x}{x}=5[/texx]
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« Respuesta #16 : 28/02/2018, 12:08:50 am »

¿el factor común lo sacas de lo que se encuentra dentro del parentesis? Si es asi como queda lo que esta alli?
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« Respuesta #17 : 28/02/2018, 12:18:00 am »

En realidad es mejor sacar factor común -1, ya que en el numerador nos va a quedar -1.


[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-1}{-5\left(\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}  [/texx]
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« Respuesta #18 : 28/02/2018, 03:17:39 pm »

De aquí [texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{\displaystyle\frac{-x-1}{5 (-x\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x}}-x\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2}{x^2}+1}}}[/texx]

¿Pasas directamente aqui?

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{\displaystyle\frac{-1}{-5 (\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x}}+\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2}{x^2}+1}}}[/texx]
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« Respuesta #19 : 28/02/2018, 03:31:10 pm »

Se me despistó una facción arriba.
He dividido por x y abajo he sacado factor común y por eso desaparece la x

En realidad es mejor sacar factor común -1, ya que en el numerador nos va a quedar -1.


[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty}{\displaystyle\frac{-1-\dfrac{1}{x}}{-5\left(\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x}}+\sqrt[ ]{\dfrac{2}{x^2}+1}\right)}}  [/texx]

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