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Autor Tema: Oposiciones FP Andalucía 1987  (Leído 996 veces)
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robinlambada
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« : 30/01/2018, 05:22:56 pm »

Calcular [texx]I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\arctan x}{x(1+x^2)}dx[/texx]

Saludos.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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« Respuesta #1 : 30/01/2018, 09:20:30 pm »

Calcular [texx]I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\arctg x}{x(1+x^2)}dx[/texx]

Saludos.

Unos intentos fallidos ...

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« Respuesta #2 : 31/01/2018, 05:12:47 am »

esta tiene pinta de ser una integral euleriana, el cambio x=tan t creo que puede salir
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 31/01/2018, 05:57:18 am »

Hola

esta tiene pinta de ser una integral euleriana, el cambio x=tan t creo que puede salir

Puede...

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Saludos.
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« Respuesta #4 : 31/01/2018, 06:10:53 am »

Hola

esta tiene pinta de ser una integral euleriana, el cambio x=tan t creo que puede salir

Puede...

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Saludos.

Finalmente entonces no es euleriana, ¿no? De paso ya sabemos  que

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Saludos,
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« Respuesta #5 : 31/01/2018, 06:19:09 am »

Hola

Finalmente entonces no es euleriana, ¿no?

No, no lo es.

Saludos.
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Abdulai
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« Respuesta #6 : 31/01/2018, 10:58:05 am »

...
Finalmente entonces no es euleriana, ¿no? De paso ya sabemos  que

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Saludos,

Es curioso, Derive no resuelve esas integrales pero si   [texx]\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\theta^2}{\sin^2\theta}\text{d}\theta[/texx]   que es lo que resulta del cambio de variable  [texx]x=\tan \theta[/texx]
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« Respuesta #7 : 31/01/2018, 05:25:26 pm »

Gracias Luis por la solución y al resto de compañeros por sus aportaciones.
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« Respuesta #8 : 31/01/2018, 08:43:00 pm »

...
Finalmente entonces no es euleriana, ¿no? De paso ya sabemos  que

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Saludos,

Es curioso, Derive no resuelve esas integrales pero si   [texx]\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\theta^2}{\sin^2\theta}\text{d}\theta[/texx]   que es lo que resulta del cambio de variable  [texx]x=\tan \theta[/texx]


En esto de la integración simbólica, creo que el 'wetware' ([texx]\approx{}[/texx] neuronas) sigue por delante del software. Yo cada vez que me topaba con un sistema de cálculo simbólico nuevo, o una versión renovada, solía probarlo con:

[texx]\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1 + x^4}}\,dx[/texx]

Es el ejercicio 7.(5) del capítulo 18 del Calculus de Spivak (Integración en términos elementales). nunca encontré ninguno que lo resolviese correctamente, aunque hace tiempo que no pruebo. Lo acabo de mirar en WolframAlpha, y sigue dando una respuesta infumable. A mi la primera vez que la encontré, en 2º de Físicas, me llevó algunas horas y una docena de folios ...

Saludos,
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« Respuesta #9 : 01/02/2018, 06:09:10 am »

Hola

En esto de la integración simbólica, creo que el 'wetware' ([texx]\approx{}[/texx] neuronas) sigue por delante del software. Yo cada vez que me topaba con un sistema de cálculo simbólico nuevo, o una versión renovada, solía probarlo con:

[texx]\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1 + x^4}}\,dx[/texx]

Es el ejercicio 7.(5) del capítulo 18 del Calculus de Spivak (Integración en términos elementales). nunca encontré ninguno que lo resolviese correctamente, aunque hace tiempo que no pruebo. Lo acabo de mirar en WolframAlpha, y sigue dando una respuesta infumable. A mi la primera vez que la encontré, en 2º de Físicas, me llevó algunas horas y una docena de folios ...

El Mathematica version 10 saca una expresión horrorosa.

Esta página (que está bastante bien) no es capaz de resolverla:

https://www.calculadora-de-integrales.com/

Y sin embargo el resultado, una vez visto, es relativamente sencillo.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 01/02/2018, 06:21:56 am »

He mirado mis apuntes de oposición y resulta que existe otra forma de resolverla muy interesante... de ella habla Richard Feynman en su deliciosa autobiografía... probad integración paramétrica!
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« Respuesta #11 : 01/02/2018, 05:37:44 pm »

He mirado mis apuntes de oposición y resulta que existe otra forma de resolverla muy interesante... de ella habla Richard Feynman en su deliciosa autobiografía... probad integración paramétrica!
Muchas gracias. Ya casi tenía olvidada la integración paramétrica ( y la verdad que agradezco las respuestas , pues de este problema no tenía solución e igual que Ignacio no daba con ella. Ahora si.
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« Respuesta #12 : 19/02/2018, 12:01:29 am »

[texx]\displaystyle \int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx =\int\frac{(1-x^{-2}}{(x+x^{-1})\sqrt{x^2+x^{-2}}}[/texx]

[texx]\displaystyle \int\frac{(1-x^{-2})}{(x+x^{-1})\sqrt{(x+x^{-1})^2-2}}dx [/texx]

Put [texx]\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}\ sec \theta[/texx]Then [texx]\left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\sqrt{2}\sec \theta \tan \theta d\theta[/texx]

So [texx]\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\sec \theta \tan \theta}{2\sec \theta \tan \theta}d\theta=\frac{1}{2}\theta+c[/texx]
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« Respuesta #13 : 19/02/2018, 08:33:37 am »

[texx]\displaystyle \int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx =\int\frac{(1-x^{-2}}{(x+x^{-1})\sqrt{x^2+x^{-2}}}[/texx]

[texx]\displaystyle \int\frac{(1-x^{-2})}{(x+x^{-1})\sqrt{(x+x^{-1})^2-2}}dx [/texx]

Put [texx]\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}\ sec \theta[/texx]Then [texx]\left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\sqrt{2}\sec \theta \tan \theta d\theta[/texx]

So [texx]\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\sec \theta \tan \theta}{2\sec \theta \tan \theta}d\theta=\frac{1}{2}\theta+c[/texx]

There is a small typo, missing a square root. It must be:

[texx]\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\sec \theta \tan \theta}{2\sec \theta \tan \theta}d\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\theta+C= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\arccos\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}x}{x^2+1}\right)+C[/texx]

Very good!

Best regards,
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« Respuesta #14 : 19/02/2018, 09:26:36 am »

Wow!


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