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Autor Tema: Teoría a números  (Leído 342 veces)
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« : 27/01/2018, 11:44:42 am »

Hola

Supongamos que tengo una teoría sobre el comportamiento de las personas. Por ejemplo, supongamos que les doy a elegir a la personas entre pares de vectores de cuatro dimensiones, cuya suma de elementos es la misma. Por ejemplo,

(10,10,10,10) contra (40,0,0,0)

y supongamos que les digo que cada posición es el resultado de cuatro loterías (que pueden tomar valores negativos). Es decir, el primer vector dice que gano 10 en cada lotería, y el segundo vector es que ganó 40 en una y nada en las otras tres.
Otro caso sería

(30,20,-10,-10) contra (20,10,0,0) es decir en el primer vector en las loterías ganó en 30+20 y perdió 10+10. En la otra ganó 20+10 y nada en las otras dos.

Tengo los siguientes problemas, quiero contrastar dos teoría. Primero, predigo que en el primer caso la mayoría de las personas elegirán (10,10,10,10) y en la segunda (20,10,0,0). ¿Por qué? Bueno tengo dos teorías. La primera dice, la llamo T1, que las personas en realidad cuentan los casos positivos y los negativos y restan estos dos y eligen el que da mayor entre los dos vectores. Es decir, dado dos vectores [texx]x,y[/texx] las personas usan

[texx]D(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}sgn(x_i)-\displaystyle\sum_{i=1}^n{}sgn(y_i)[/texx]

si [texx]D(x,y)>0[/texx] eligen [texx]x[/texx], si es negativo eligen [texx]y[/texx] (indiferente si es cero).

En el primer par [texx]D(x,y)=3[/texx], [texx]x[/texx] es mejor, en el segundo [texx]D(x,y)=-2[/texx] eligen [texx]y[/texx].

Ahora, tengo otra teoría, que llamo T2, en la cual en realidad los individuos eligen de acuerdo a la siguiente función, [texx]v(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{u(x_i)}[/texx] siendo [texx]u[/texx] una función creciente, con [texx]u(0)=0[/texx], cóncava para argumentos positivos y convexa para argumentos negativos y además [texx]-u(-x)\geq{}u(x)[/texx] para [texx]x\geq{}0[/texx]. En particular, se podría suponer que tiene la siguiente forma: [texx]u(x)=x^a[/texx] para [texx]x\geq{}0[/texx] y [texx]u(x)=-\lambda(-x)^b[/texx] para [texx]x<0[/texx] con [texx]a,b\in(0,1), \lambda>1[/texx].

El primer problema que tengo es transformar esta teoría en respuestas esperadas. Es decir, supongamos que realizo una encuesta de 100 personas mostrándoles los dos casos, qué porcentajes de respuestas favorables debería esperar para cada respuestas. Yo pienso que si mi teoría es correcta entonces en ambos casos debería decir que el 100% de las personas deberían elegir (10,10,10,10) contra (40,0,0,0) en T2 simplemente por concavidad de [texx]u[/texx]. Sin embargo, lleve a cabo este experimento y el porcentaje fue del 80%, no del 100%. Creo que para eliminar una de las teoría debería hacer neutra una de estas, por ejemplo, eligiendo [texx]D(x,y)=0[/texx] y ver si en estos casos las personas responden de acuerdo a T2. Y a su vez, elegir casos dónde T2 sea neutro es decir [texx]v(x)=v(y)[/texx] y probar si T1 predice bien. Creo que necesito elaborar una especie de índice.

Una opción puede ser en lugar de pedirles si prefieren [texx]x[/texx] o [texx]y[/texx] como fue que hice, decirles que indiquen entre más de dos opciones, del tipo 1 a 5, siendo [texx]1[/texx] prefiero ampliamente a [texx]x[/texx] y [texx]5[/texx] prefiero ampliamente a [texx]y[/texx], 2 prefiero a [texx]x[/texx], [texx]3[/texx] son indiferentes, 4 prefiero a [texx]y[/texx].

Saludos




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