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Autor Tema: Componente irreducible y conexa  (Leído 354 veces)
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irenesevillana
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« : 26/01/2018, 07:26:47 am »

Hola, tengo duda respecto a las componentes conexas e irreducible ,no consigo calcularlas
Sabemos que [texx]Spec \mathbb{C}[x, y]/ (q(x,y)),[/texx] donde [texx]q(x, y)[/texx] no es constante.
Sea [texx]q(x, y) = p_1(x, y)^{m_1}....p_r(x, y)^{m_r}[/texx] su descomposición en factores irreducibles que no difieran en factores constantes.
Como [texx]Spec \mathbb{C}[x, y]/ (q) = (q)_0[/texx]tiene dimension 1 y sus puntos son:
–. Los puntos cerrados (a, b) donde q(a, b) = 0 .
–. Los puntos genericos de las curvas irreducibles [texx]p_i(x, y) = 0[/texx].

Vamos a calcular el espectro , y las componentes conexas e irreducible
Sea [texx]I = (y-x)(x-1),(y+x)(x-1)[/texx]
[texx]Spec \mathbb{C}[x, y]/ I  =   \begin{bmatrix}ideales primos de  \mathbb{C}[x, y]/ I  \end{bmatrix} =(((y-x)(x-1),(y+x)(x-1))_0) = ((y-x)(x-1))_0\cap{}((y+x)(x-1))_0  =\begin{cases} (a,b) tales que (b-a)(a-1)=0 \\ punto genérico (y-x)(x-1)=0 \end{cases}\cap{}\begin{cases} (a,b) tal que (b+a)(a-1)=0\\  punto genérico (y+x)(x-1)=0 \end{cases}[/texx]
[texx](y-x)(x-1) [/texx]es irreducible en [texx]\mathbb{C}[x, y][/texx]
[texx](y+x)(x-1) [/texx] tambien es irreducible en [texx]\mathbb{C}[x, y][/texx]
luego, (b-a)(b-1)=0[texx]\rightarrow{} b=1 , a=1[/texx]
y (b+a)(b-1)=0[texx]\rightarrow{} b=1[/texx]y [texx] y a=-[/texx]
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
Entonces no sé como seguir
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 26/01/2018, 08:07:45 am »

Hola

Hola, tengo duda respecto a las componentes conexas e irreducible ,no consigo calcularlas
Sabemos que [texx]Spec \mathbb{C}[x, y]/ (q(x,y)),[/texx] donde [texx]q(x, y)[/texx] no es constante.
Sea [texx]q(x, y) = p_1(x, y)^{m_1}....p_r(x, y)^{m_r}[/texx] su descomposición en factores irreducibles que no difieran en factores constantes.
Como [texx]Spec \mathbb{C}[x, y]/ (q) = (q)_0[/texx]tiene dimension 1 y sus puntos son:
–. Los puntos cerrados (a, b) donde q(a, b) = 0 .
–. Los puntos genericos de las curvas irreducibles [texx]p_i(x, y) = 0[/texx].

Vamos a calcular el espectro , y las componentes conexas e irreducible
Sea [texx]I = (y-x)(x-1),(y+x)(x-1)[/texx]
[texx]Spec \mathbb{C}[x, y]/ I  =   \begin{bmatrix}ideales primos de  \mathbb{C}[x, y]/ I  \end{bmatrix} =(((y-x)(x-1),(y+x)(x-1))_0) = ((y-x)(x-1))_0\cap{}((y+x)(x-1))_0  =\begin{cases} (a,b) tales que (b-a)(a-1)=0 \\ punto genérico (y-x)(x-1)=0 \end{cases}\cap{}\begin{cases} (a,b) tal que (b+a)(a-1)=0\\  punto genérico (y+x)(x-1)=0 \end{cases}[/texx]
[texx](y-x)(x-1) [/texx]es irreducible en [texx]\mathbb{C}[x, y][/texx]
[texx](y+x)(x-1) [/texx] tambien es irreducible en [texx]\mathbb{C}[x, y][/texx]
luego, (b-a)(b-1)=0[texx]\rightarrow{} b=1 , a=1[/texx]
y (b+a)(b-1)=0[texx]\rightarrow{} b=1[/texx]y [texx] y a=-[/texx]
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
Entonces no sé como seguir

Me resulta confuso lo que has escrito.

La idea es que el ideal [texx]I[/texx] corresponde al conjunto algebraico afín definido por las ecuaciones:

[texx](y-x)(x-1)=0[/texx]
[texx](y+x)(x-1)=0[/texx]

Resolviendo corresponde al punto [texx]\{(0,0)\}[/texx] unión la recta [texx]x=1[/texx] y esas son precisamente sus dos componentes conexas e irreducibles.

Algebraicamente puede verse que el cociente [texx]\mathbb{C}[x,y]/I[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{C}\times \mathbb{C}[y[/texx]] vía la evaluación [texx]p(x,y)\to (p(0,0),p(1,y))[/texx]

Saludos.
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irenesevillana
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« Respuesta #2 : 26/01/2018, 08:20:48 am »

Hola Luis Fuentes, es verdad es un poco lioso como lo he escrito (he procedido por los ceros de los puntos).
Entonces, simplemente resolviendo las ecuaciones obtendremos el (0,0) unión la recta x=1
Muchas gracias por tu ayuda.
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