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Autor Tema: Problema de péndulo simple  (Leído 85 veces)
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Francolino
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« : 14/01/2018, 04:35:58 am »

Hola.

El problema que escribo a continuación lo he encarado de diversas maneras y nunca llego al resultado correcto, ¿cómo debería ser el planteo inicial?

El problema.


Un péndulo constituido por una masa [texx]m[/texx] y un hilo inextensible y sin masa de largo [texx]L[/texx] oscila en un plano vertical alrededor de [texx]O[/texx] fijo. Cuando la masa pasa por el punto más bajo de su oscilación, se sabe que tiene una velocidad de módulo [texx]v_0[/texx]. En el momento en que el péndulo forma un ángulo [texx]\alpha = 45º[/texx] con su posición de equilibrio, como se muestra en la figura, el hilo se rompe. La distancia horizontal [texx]D[/texx], con respecto a la posición de equilibrio del péndulo, que tendrá la masa al alcanzar su máxima altura luego de romperse el hilo es:

Saludos.

* pendulo1.1.1.1.png (5.28 KB - descargado 32 veces.)
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 14/01/2018, 03:25:46 pm »

Hola.

El problema que escribo a continuación lo he encarado de diversas maneras y nunca llego al resultado correcto, ¿cómo debería ser el planteo inicial?

El problema.


Un péndulo constituido por una masa [texx]m[/texx] y un hilo inextensible y sin masa de largo [texx]L[/texx] oscila en un plano vertical alrededor de [texx]O[/texx] fijo. Cuando la masa pasa por el punto más bajo de su oscilación, se sabe que tiene una velocidad de módulo [texx]v_0[/texx]. En el momento en que el péndulo forma un ángulo [texx]\alpha = 45º[/texx] con su posición de equilibrio, como se muestra en la figura, el hilo se rompe. La distancia horizontal [texx]D[/texx], con respecto a la posición de equilibrio del péndulo, que tendrá la masa al alcanzar su máxima altura luego de romperse el hilo es:

Cuando se rompe el hilo, la masa [texx]m[/texx] empieza a desplazarse en la dirección que llevaba, perpendicular al hilo, formando por tanto un ángulo de [texx]45^\circ{}[/texx] con la horizontal. La velocidad en ese instante la puedes calcular por conservación de la energía. A partir de ese momento, se trata de un problema de tiro oblicuo, en el que conoces el ángulo y la velocidad inicial, así como la posición del punto de partida, en el que se rompe el hilo.

Solo tienes que hallar a que distancia se alcanza el máximo de la trayectoria parabólica y añadirlo a la separación horizontal de [texx]m[/texx] respecto del punto de equilibrio.

Saludos,
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« Respuesta #2 : 18/01/2018, 06:13:56 am »

Hola Ignacio y muchas gracias por contestar, como siempre. 

Finalmente y gracias a ti, he podido dar con la solución. Como me suele suceder, me estaba complicando de más y a su vez, no estaba viendo detalles importantes. A continuación expongo a grosso modo las ecuaciones por si algún lector está curioso:

Se conserva la energía, por tanto se puede afirmar que:
[texx]\frac{m v_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgL(1-\cos\theta)[/texx]

Despejo [texx]v[/texx] que es la velocidad perpendicular a la trayectoria del péndulo en el momento en que se rompe el hilo:
[texx]v = \sqrt{v_0^2-2gL(1-\cos\theta)}[/texx]

El tiempo que demora en llegar a su altura máxima es:
[texx]t = \frac{\sen\theta}{g}\sqrt{v_0^2-2gL(1-\cos\theta)}[/texx]

Con este tiempo y la velocidad horizontal hallo el desplazamiento horizontal:
[texx]\displaystyle x' = \frac{\sen\theta\cos\theta(v_0^2-2gL(1-\cos\theta))}{g}[/texx]

Y ahora falta sumar el trocito de la distancia desde que se rompe el hilo a su punto de equilibro, que es: [texx]L\sen\theta[/texx].

Finalmente, juntando todo y reemplazando por el ángulo conocido:

[texx]\displaystyle \boxed{D = \frac{v_0^2}{2g} + L(\sqrt{2}-1)}[/texx]


Saludos.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #3 : 18/01/2018, 06:53:07 am »

Todo correcto.

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