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Autor Tema: Monotonía en soluciones de EDOs  (Leído 477 veces)
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Eparoh
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« : 13/01/2018, 06:40:40 pm »

Hola a todos, llevo toda la tarde dándole vueltas a las dos siguientes proposiciones que tengo propuestas, y no consigo sacar nada en claro.
Éstas son:

a) Sea [texx]f(x,y)[/texx] una función continua y positiva, si [texx]y(x)[/texx] es solución de [texx]y'=xyf(x,y) \forall x \not = 0[/texx], entonces demuestre que [texx]y(x)>y(0)[/texx] si [texx]y(0)>0[/texx] y [texx]y(x)<y(0)[/texx] si [texx]y(0)<0[/texx].

b)Dada la edo [texx]y'=g(y)[/texx] con [texx]g[/texx] continua, demostrar que cualquier solución es monótona en cualquier intervalo [texx](x_0, x_1)[/texx] donde [texx]x_0, x_1[/texx] son dos ceros consecutivos distintos de [texx]g[/texx].

La primera no se muy bien como abordarla, intenté a través de la continuidad de [texx]y[/texx], ver que el signo se conservaba en las regiones positiva y negativa de [texx]\mathbb{R}[/texx], pero no llegué a nada.
Y, respecto a la segunda, me di cuenta al intentar resolverlo que estaba cometiendo el error de dar por sentado que la imagen de [texx]y[/texx] estaría contenida entre los dos ceros y desde ahí sería ya fácil, y al ver esto, no supe como seguir.

Un saludo a todos, y muchas gracias por su tiempo y ayuda.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 14/01/2018, 05:46:25 am »

a) Sea [texx]f(x,y)[/texx] una función continua y positiva, si [texx]y(x)[/texx] es solución de [texx]y'=xyf(x,y) \forall x \not = 0[/texx], entonces demuestre que [texx]y(x)>y(0)[/texx] si [texx]y(0)>0[/texx].

Pues si el enunciado es exactamente ese, el aserto es falso. Elige [texx]f(x,y)=2[/texx] y la función

          [texx]y(x)=\begin{cases} e^{x^2} & \text{si}& x\ne 0\\4 & \text{si}& x=0.\end{cases}[/texx]

Entonces, para todo [texx]x\ne 0[/texx] se verifica  [texx]y'=xyf(x,y)[/texx], también que [texx]y(0) > 0[/texx] y sin embargo no se verifica [texx]y(x) > y(0)[/texx] para todo [texx]x[/texx], basta que elijas [texx]x=1.[/texx]
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Eparoh
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« Respuesta #2 : 14/01/2018, 06:42:11 am »

Ya decía yo que se me hacía muy raro que fuera cierto algo así, pudiendo ser la solución discontinua en [texx]x=0[/texx].
No pensé en buscar algún contraejemplo pues la proposición la tenía planteada de clase en una cierta prueba, y se suponía cierta.
Respecto a la segunda, creo tener algunas ideas de como resolverla, pues al ser una ecuación en variables separables, a partir del teorema de existencia y unicidad de éstas, se puede ver que en el entorno que el teorema garantiza, la función es siempre monótona.
Sin embargo, no se si entiendo correctamente la cuestión en si, pues parece decir que la solución está definida en [texx](x_0, x_1)[/texx], pero esto no tiene sentido siendo estos también puntos del dominio de [texx]g[/texx], ¿verdad?
Un saludo, y muchas gracias por la respuesta.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 14/01/2018, 09:30:48 am »

b)Dada la edo [texx]y'=g(y)[/texx] con [texx]g[/texx] continua, demostrar que cualquier solución es monótona en cualquier intervalo [texx](x_0, x_1)[/texx] donde [texx]x_0, x_1[/texx] son dos ceros consecutivos distintos de [texx]g[/texx].

Algo se me escapa. Posíblemente esté yo torpe (o el que redactó el problema  :sonrisa:). Lo retomaré en otro momento y tal vez en el intermedio algún otro forero esté más hábil.
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Eparoh
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« Respuesta #4 : 14/01/2018, 09:57:29 am »

Algo se me escapa. Posíblemente esté yo torpe (o el que redactó el problema  :sonrisa:). Lo retomaré en otro momento y tal vez en el intermedio algún otro forero esté más hábil.

Bastante probable que fuera el que redactara el problema, o al menos al exponerlo, por como es quien lo hizo.
Pero aun así, gracias por tu tiempo, y a ver si damos con una respuesta entre todos  :guiño:
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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 14/01/2018, 02:41:20 pm »

Creo que en vez de

Cita
Dada la edo [texx]y'=g(y)[/texx] con [texx]g[/texx] continua, demostrar que cualquier solución es monótona en cualquier intervalo [texx](x_0, x_1)[/texx] donde [texx]x_0, x_1[/texx] son dos ceros consecutivos distintos de [texx]g[/texx],

debería decir:
   
Dada la edo [texx]y'=g(y)[/texx] con [texx]g[/texx] continua en [texx]\mathbb{R}[/texx], demostrar que cualquier solución es monótona en la región [texx]S=\mathbb{R}\times (x_0, x_1)[/texx] donde [texx]x_0, x_1[/texx] son dos ceros consecutivos distintos de [texx]g[/texx].

Efectivamente, al ser [texx]g[/texx] continua y [texx]x_0 < x_1[/texx] dos ceros consecutivos de [texx]g[/texx], tenemos [texx]g(y) <0[/texx] o [texx]g(y) \color{red} > \color{black}0[/texx] en [texx](x_0,x_1)[/texx]. Así, cualquier solución [texx]\varphi[/texx] de la ecuación con la condición inicial [texx]\varphi (a)=b[/texx] con [texx](a,b)\in S[/texx] satisface [texx]\varphi^\prime < 0[/texx] o [texx]\varphi^\prime> 0[/texx].

P.D. Tengo curiosidad por ver las respuestas que dan en clase a los dos ejercicios. Por favor, coméntalas aquí.

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« Respuesta #6 : 19/01/2018, 07:27:17 am »

Dada la edo [texx]y'=g(y)[/texx] con [texx]g[/texx] continua en [texx]\mathbb{R}[/texx], demostrar que cualquier solución es monótona en la región [texx]S=\mathbb{R}\times (x_0, x_1)[/texx] donde [texx]x_0, x_1[/texx] son dos ceros consecutivos distintos de [texx]g[/texx].

Efectivamente, al ser [texx]g[/texx] continua y [texx]x_0 < x_1[/texx] dos ceros consecutivos de [texx]g[/texx], tenemos [texx]g(y) <0[/texx] o [texx]g(y) < 0[/texx] en [texx](x_0,x_1)[/texx]. Así, cualquier solución [texx]\varphi[/texx] de la ecuación con la condición inicial [texx]\varphi (a)=b[/texx] con [texx](a,b)\in S[/texx] satisface [texx]\varphi^\prime < 0[/texx] o [texx]\varphi^\prime> 0[/texx].

P.D. Tengo curiosidad por ver las respuestas que dan en clase a los dos ejercicios. Por favor, coméntalas aquí.

Yo también pienso que debería ser así, porque justo esa solución es la que pensé y me parecía más cercana al tipo de cuestiones planteadas, de todas formas, iré a hablar con el profesor correspondiente, y le preguntaré ambas cuestiones y comentaré aquí las respuestas que me de  :guiño:

Un saludo, y gracias por todo.

Edito: Hay un pequeño error tipográfico en lo que mostraste como solución, pusiste [texx]g(y)<0[/texx] o [texx]g(y)<0[/texx], en lugar de ser uno de los dos [texx]g(y)>0[/texx].

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« Respuesta #7 : 11/06/2018, 03:48:32 pm »

P.D. Tengo curiosidad por ver las respuestas que dan en clase a los dos ejercicios. Por favor, coméntalas aquí.

Hola, siento haber tardado tanto en responder pero tuve un cuatrimestre bastante liado y no pude ir a hablar con el profesor hasta hace poco.
Respecto al primer problema el enunciado debería ser tal y como comentaste, y la solución es claramente la que diste.
Respecto al segundo, metí yo la pata al copiarlo, el enunciado debería ser:

Sea [texx]f(x,y)[/texx] una función positiva definida en [texx]D[/texx], abierto y conexo, y de clase [texx]\mathcal{C}^1(D)[/texx], si [texx]y(x)[/texx] es solución de la edo [texx]y'=xyf(x,y)[/texx] entonces demuestre que para cada [texx]x\neq{}0[/texx] se cumple [texx]y(x)>y(0)[/texx] si [texx]y(0)>0[/texx] y [texx]y(x)<y(0)[/texx] si [texx]y(0)<0[/texx].

La solución viene de observar primero que que la derivada parcial de [texx]g(x,y)=xyf(x,y)[/texx] respecto de [texx]y[/texx] es contínua en cada punto del dominio de [texx]f[/texx], con lo cual [texx]g[/texx] es localmente Lipschitz en cada punto.
Ahora, por el siguiente teorema
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y observando que [texx]\psi(x)=0[/texx] es solución de la edo para cualquier condición inicial de la forma [texx](x, 0)[/texx], tenemos que [texx]y(x)>0[/texx] si [texx]y(0)>0[/texx] y [texx]y(x) <0[/texx] si [texx]y(0)<0[/texx]. Esto es así pues, si suponemos que existe un punto [texx]x_0[/texx] tal que [texx]y(x_0)=0[/texx], entonces tendríamos que [texx]y[/texx] y [texx]\psi[/texx] son dos soluciones distintas del problema con valores iniciales [texx](x_0,0)[/texx] y esto es una contradicción con el teorema dado.
Con todo, al ser [texx]f(x,y)[/texx] positiva, resulta que si [texx]y(0)>0[/texx], entonces [texx]y'(x)=xyf(x,y)[/texx] es mayor que cero si [texx]x>0[/texx] y menor que cero si [texx]x<0[/texx] luego alcanza en cero un mínimo absoluto y, se concluye que [texx]y(x)>y(0)[/texx] si [texx]x\neq{}0[/texx].
El caso con [texx]y(0)<0[/texx] es análogo.
Espero haberme explicado bien, porque es un poco lioso de escribir.
Un saludo, y de nuevo perdona por tardar tanto.
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