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Autor Tema: Aplicación lineal cumpliendo condiciones (4)  (Leído 277 veces)
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ytrusx
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« : 13/01/2018, 06:39:14 pm »

Hola, ya he subido aquí algún problema del mismo estilo y he resuelto unos cuantos más por mi cuenta pero siempre hay alguno que me resulta especialmente abstracto o me cuesta comprobar mis razonamientos. Os dejo el enunciado y ojalá alguien pueda echarme una mano.

Sean los siguientes subespacios:

[texx]A = \{ (x,y,z) \in\mathbb{Q^3} \,|\,  x+y+z=0 \}\\
       B = \{ (x,y,z) \in\mathbb{Q^3} \, |\,  x-y=0 \}\\
[/texx]

Hallar una aplicación lineal [texx]\mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3}\\f((x,y,z))=(...)[/texx]
tal que:

[texx]f(A)=B\cap{}Ker(f)\\
f(B)=A\cap{}Ker(f)\\
(2,-2,1)\in{}Ker(f)[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/01/2018, 07:29:05 pm »

Hola

Hola, ya he subido aquí algún problema del mismo estilo y he resuelto unos cuantos más por mi cuenta pero siempre hay alguno que me resulta especialmente abstracto o me cuesta comprobar mis razonamientos. Os dejo el enunciado y ojalá alguien pueda echarme una mano.

Sean los siguientes subespacios:

[texx]A = \{ (x,y,z) \in\mathbb{Q^3} \,|\,  x+y+z=0 \}\\
       B = \{ (x,y,z) \in\mathbb{Q^3} \, |\,  x-y=0 \}\\
[/texx]

Hallar una aplicación lineal [texx]\mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3}\\f((x,y,z))=(...)[/texx]
tal que:

[texx]f(A)=B\cap{}Ker(f)\\
f(B)=A\cap{}Ker(f)\\
(2,-2,1)\in{}Ker(f)[/texx]


Si haces las cuentas verás que: [texx]A\cap B=\langle (1,1,-2)\rangle[/texx]. Sabemos además que [texx](2,-2,1)\in ker(f)[/texx], pero [texx](2,-2,1)\not\in A\cup B.[/texx]

Entonces:

[texx]f(A\cap B)\subset A\cap B\cap ker(f)=\langle (1,1,-2)\rangle\cap ker(f)[/texx]

- Si [texx](1,1,-2)\not\in ker(f)[/texx] entonces f(A\cap B)=\{\vec 0\} y por tanto [texx]f(1,1-2)=(0,0,0)[/texx] lo cual contradice que [texx](1,1,-2)\not\in ker(f).[/texx]

Deducimos por tanto que [texx](1,1,-2)\in ker(f).[/texx] Entonces el núcleo tiene al menos dimensión [texx]2[/texx] y [texx](1,1-2)\in A\cap ker(f).[/texx] Como [texx]f(B)=A\cap ker(f)[/texx] entonces [texx](1,1,-2)\in Im(f)[/texx] y así la imagen tiene al menos dimensión [texx]1[/texx].

Pero por la fórmula de las dimensiones [texx]dim(im(f))+dim(ker(f))=3[/texx] y así necesariamente:

- [texx]dim(ker(f))=2[/texx] y [texx]ker(f)=\langle (2,-2,1),(1,1,-2)\rangle[/texx]
- [texx]dim(im(f))=1[/texx] e [texx]im(f)=\langle (1,1,-2)\rangle[/texx].

Con esto ya sabemos que:

[texx]f(2,-2,1)=(0,0,0),\qquad f(1,1,-2)=(0,0,0)[/texx]

Nos falta escoger un tercer vector que con estos dos forme base y sabemos que su imagen será múltiplo de [texx](1,1,-2)[/texx].

Por ejemplo: [texx]f(0,0,1)=k(1,1,-2)[/texx].

Saludos.
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ytrusx
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« Respuesta #2 : 13/01/2018, 08:31:54 pm »

Vale, es un alivio saber que se parece mucho a lo que había pensado pero no terminaba de saber cómo dar el paso final. ¡¡¡ Muchísimas gracias Luis !!!   :cara_de_queso:
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