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Autor Tema: Topología Fort.  (Leído 50 veces)
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Wimet
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« : 13/01/2018, 08:43:18 am »

Me piden que pruebe que [texx]H=[A\subset{\mathbb{Z}}/0\not\in{A} \vee A^c[/texx] es finito] es una topología en [texx]\mathbb{Z}[/texx] y que pruebe que [texx](\mathbb{Z},H)[/texx] es un espacio que cumple el primer axioma de numerabilidad.

La primera parte del ejercicio me ha salido sin problemas, pero la segunda parte no sé por donde tirar (sé que hay que sacar los entornos del 0 y del 1 por ejemplo ya que el único punto que tendrá entornos distintos a los demás sera el 0).

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/01/2018, 09:26:53 am »

Hola

Me piden que pruebe que [texx]H=[A\subset{\mathbb{Z}}/0\not\in{A} \vee A^c[/texx] es finito] es una topología en [texx]\mathbb{Z}[/texx] y que pruebe que [texx](\mathbb{Z},H)[/texx] es un espacio que cumple el primer axioma de numerabilidad.

La primera parte del ejercicio me ha salido sin problemas, pero la segunda parte no sé por donde tirar (sé que hay que sacar los entornos del 0 y del 1 por ejemplo ya que el único punto que tendrá entornos distintos a los demás sera el 0).

Fíjate que los puntos distintos del cero son abiertos, por tanto para [texx]n\neq 0[/texx] un sistema de entornos de [texx]n[/texx] está formado simplemente por el conjunto [texx]\{n\}[/texx], que es finito.

Los abiertos que contienen al cero son complementarios de conjuntos; pero los conjuntos finitos son numerables (la familia de conjuntos finitos es unión de la familia de  conjuntos de un elemento; de  la familia de conjuntos de dos elementos; de la familia de conjuntos de tres elementos; etcétera, es decir unión numerable de familias finitas de conjuntos).

Saludos.
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