Continuidad

[Geraldine____]

Dada: [texx]f(x,y)=\begin{cases} x^3+2x-3y & \text{si x=y}& \\ x^2-y^2+Dx+Cy & \text{si x≠y} \end{cases}[/texx]

a) Determinar todos los valores de las constantes C y D de modo que la función sea continua en (2,2).
b) Si D=0, ¿qué valor debe tomar C para que sea continua? Para este par de valores calcular, si existen, las derivadas parciales de la función (2,2).

El b) creo que lo sé. El a) lo hice mil veces y no hubo caso. 
No quiero que me lo resuelvan sino que me guíen.
Lo primero que hice fue:
[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(2,2)}}{} x^2-y^2+Dx+Cy = 2*(D+C)[/texx]

[texx]2(D+C)=x^3+2x-3y[/texx]

¿Hasta ahí voy bien?

[Luis Fuentes]

Hola

Dada: [texx]f(x,y)=\begin{cases} x^3+2x-3y & \text{si x=y}& \\ x^2-y^2+Dx+Cy & \text{si x≠y} \end{cases}[/texx]

a) Determinar todos los valores de las constantes C y D de modo que la función sea continua en (2,2).
b) Si D=0, ¿qué valor debe tomar C para que sea continua? Para este par de valores calcular, si existen, las derivadas parciales de la función (2,2).

El b) creo que lo sé. El a) lo hice mil veces y no hubo caso. 
No quiero que me lo resuelvan sino que me guíen.
Lo primero que hice fue:
[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(2,2)}}{} x^2-y^2+Dx+Cy = 2*(D+C)[/texx]

[texx]2(D+C)=x^3+2x-3y[/texx]

¿Hasta ahí voy bien?

Si. Ten en cuenta que:

- si te aproximas a [texx](2,2)[/texx] por puntos con [texx]x\neq y[/texx] tienes que:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(2,2)}}f(x,y)=\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(2,2)}}{} x^2-y^2+Dx+Cy = 2*(D+C)[/texx]

- si te aproximas a [texx](2,2)[/texx] por puntos con [texx]x=y[/texx] tienes que:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(2,2)}}f(x,y)=\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(2,2)}}{} x^3+2x-3y = 6=f(2,2)[/texx]

Para que sea continua en [texx](2,2)[/texx] por tanto debe de cumplirse [texx]2(D+C)=6[/texx].

Saludos.

[Geraldine____]

Pero... Yo hice eso y cuando grafico no me queda continua. Por ejemplo en [texx]D=0[/texx], [texx]C=3[/texx].

[Luis Fuentes]

Hola

Pero... Yo hice eso y cuando grafico no me queda continua. Por ejemplo en [texx]D=0[/texx], [texx]C=3[/texx].

Pues no sé que gráfico has hecho o si lo estás interpretando bien.

Ten en cuenta que hablamos de continua en el punto [texx](2,2)[/texx]. En otros puntos de la forma [texx](a,a)[/texx] con [texx]a\neq 2[/texx] será no continua.

Saludos.

[Geraldine____]

Este es mi gráfico. Si está bien, ¿Cómo sé que es continua gráficamente una función de varias variables? Porque ni siquiera pasan por el punto las dos funciones "internas".

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero lo que has dibujado ahí son las dos funciones completas que, a trozos, forman la función que te dan.

 Tu función sólo se parece a la roja sobre la recta [texx]x=y[/texx], fuera de ella es la verde.

 Sea como sea una función definida a trozos, si es continua en cada uno de esos trozos por separado será continua en los puntos frontera de los trozos si las dos funciones que lo componen ahí coinciden en su valor.

Saludos.

[Geraldine____]

¿Me lo podrías graficar?



 

 

[Ignacio Larrosa]

¿Me lo podrías graficar?

Lo que te ha ocurrido es que por una parte has introducido mal la función [texx]g[/texx]. Es

[texx]g(x, y) = x^3 + 2x - 3y[/texx]

Tu pusiste en al applet de GeoGebra

[texx]g(x, y) = x^3 + 2x - 3x[/texx]

Esta última no depende de [texx]y[/texx], y te queda una superficie cilíndrica, de generatrices paralelas al eje [texx]Oy[/texx].

Por otra parte, el punto en que deben coincidir ambas gráficas es el (2, 2, 6), como efectivamente ocurre si corriges la función. Ambas valen [texx]6\textrm{ en }(2, 2)[/texx].

Saludos,

[Geraldine____]

Ahhhhhhhhhhhhhhhh.   

¡Muchísimas gracias!


 

[Ignacio Larrosa]

¿Me lo podrías graficar?

Lo que te ha ocurrido es que por una parte has introducido mal la función [texx]g[/texx]. Es

[texx]g(x, y) = x^3 + 2x - 3y[/texx]

Tu pusiste en al applet de GeoGebra

[texx]g(x, y) = x^3 + 2x - 3x[/texx]

Esta última no depende de [texx]y[/texx], y te queda una superficie cilíndrica, de generatrices paralelas al eje [texx]Oy[/texx].

Por otra parte, el punto en que deben coincidir ambas gráficas es el (2, 2, 6), como efectivamente ocurre si corriges la función. Ambas valen [texx]6\textrm{ en }(2, 2)[/texx].

No me di cuenta que solo nos interesa la función [texx]g(x, y) = x^3 + 2x - 3y[/texx] cuando [texx]y = x[/texx]. Es indiferente entonces que escribieses una [texx]x[/texx] en lugar de una [texx]y[/texx]. El problema supongo es que tu pensabas que deberían pasar por el punto (2, 2, 0), en lugar de por el punto (2, 2, 6).

En este applet, la grafica de tu función sería la superficie verde y la curva magenta, [texx]c(t) = (t, t, t^3-t)[/texx]. Solo resulta continua en los puntos (2, 2), en el que f(2, 2) = 6, en (0, 0), en el que f(0, 0) = 0, y en (-2, -2), en el que f(-2, -2) = -6.


En GeoGebra también puedes representar funciones 'a trozos'. Tu función f(x, y) sería:

f(x, y) = (x == y, x^3 + 2x - 3y, ¬(x == y), x^2 - y^2 +3y)

Pero en 3D el resultado no es muy bueno, al menos el que yo obtengo.

Saludos,