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Autor Tema: ¿Son equivalentes estos dos predicados?  (Leído 378 veces)
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« : 12/01/2018, 09:44:38 pm »

dados los siguientes simbolos de predicados:

[texx]D(x)[/texx] es "x es un perro"
[texx]R(x)[/texx] es "x es un conejo"
[texx]C(x,y)[/texx] es "x caza y"

El primer predicado tiene un dominio de interpretación que es "cualquier cosa" tanto para x como para y:
[texx](\forall{x})[D(x)\longrightarrow{}(\forall{y})(R(y)\longrightarrow{}C(x,y))][/texx]

El segundo predicado tiene como dominio de interpretacion de x a "los perros" y el dominio de interpretacion de y es "los conejos":
[texx](\forall{x})(\forall{y})(C(x,y))[/texx]

con las aclaraciones de los dominios de interpretación, creo que los dos predicados serian iguales. si esto es cierto¿Cual elegirian y por qué?
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 13/01/2018, 07:40:55 am »

Si defines como dominio de la interpretación a [texx]\mathcal{D}\cup \mathcal{R}[/texx] siendo [texx]\mathcal{D}[/texx] el conjunto de los perros, [texx]\mathcal{R}[/texx] el de los conejos y como predicado [texx]C(x,y)[/texx] ([texx]x[/texx] caza a [texx]y[/texx]), la fórmula bien formada 

          [texx](\forall{x})(\forall{y})(C(x,y))[/texx]

no distingue los perros de los conejos, (elige por ejemplo [texx]x=[/texx]Bugs Bunny [texx]y[/texx]=Pluto), :sonrisa: 
por tanto no es equivalente a

          [texx](\forall{x})[D(x)\longrightarrow{}(\forall{y})(R(y)\longrightarrow{}C(x,y))][/texx]

que si los distingue con los predicados [texx]D(x)[/texx] ([texx]x[/texx] es un perro) y [texx]R(x)[/texx] ([texx]x[/texx] es un conejo).
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« Respuesta #2 : 13/01/2018, 05:13:07 pm »

Si defines como dominio de la interpretación a [texx]\mathcal{D}\cup \mathcal{R}[/texx] siendo [texx]\mathcal{D}[/texx] el conjunto de los perros, [texx]\mathcal{R}[/texx] el de los conejos y como predicado [texx]C(x,y)[/texx] ([texx]x[/texx] caza a [texx]y[/texx]), la fórmula bien formada 

          [texx](\forall{x})(\forall{y})(C(x,y))[/texx]

no distingue los perros de los conejos, (elige por ejemplo [texx]x=[/texx]Bugs Bunny [texx]y[/texx]=Pluto), :sonrisa: 
por tanto no es equivalente a

          [texx](\forall{x})[D(x)\longrightarrow{}(\forall{y})(R(y)\longrightarrow{}C(x,y))][/texx]

que si los distingue con los predicados [texx]D(x)[/texx] ([texx]x[/texx] es un perro) y [texx]R(x)[/texx] ([texx]x[/texx] es un conejo).

En el predicado [texx](\forall{x})(\forall{y})(C(x,y))[/texx], el dominio de interpretación yo lo asigné por variable, es decir, a la variable 'x' le asigné el dominio de interpretación solo de perros y a la variable 'y' le asigné el dominio de interpretación solo conejos. Si este es el caso,¿el predicado no seria el mismo?
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« Respuesta #3 : 13/01/2018, 07:02:18 pm »

Si sólo escribes \(\forall x \forall y C(x,y)\), no está claro qué condiciones cumplen \(x\) é \(y\).

El hecho de que \(x\) sólo designe perros es algo que estás agregando fuera del sistema formal lógico que estás usando, lo estás diciendo sin utilizar predicado alguno, sino una restricción que has puesto arbitrariamente.
Lo mismo con \(y\).

Usando sólo reglas de inferencia, apelando sólo a la forma de las fórmulas lógicas empleadas y reglas válidas de deducción, no es posible deducir nada de \(C(x,y)\), pues la información de que son perros o conejos no está escrita en ninguna parte, sino sólo residiendo en tu imaginación.

Es decir, no hay una manera formal de probar la equivalencia que mencionás.
De hecho, \(D(x)\) y \(R(x)\) podrían tener cualquier otra interpretación, y el razonamiento tendría que seguir siendo válido.

Vos mismo dijiste que los dominios de interpretación son "cualquier cosa".
Entiendo que en la intención del ejercicio no se autoriza en ninguna parte a restringir el dominio de interpretación de las variables, pues en tal caso \(D(x),R(y)\), serían trivialmente verdaderos, y sí, en ese caso podrían eliminarse del enunciado (pero sólo para esa interpretación particular).


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Fernando Revilla
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« Respuesta #4 : 14/01/2018, 02:43:58 am »

En el predicado [texx](\forall{x})(\forall{y})(C(x,y))[/texx], el dominio de interpretación yo lo asigné por variable, es decir, a la variable 'x' le asigné el dominio de interpretación solo de perros y a la variable 'y' le asigné el dominio de interpretación solo conejos. Si este es el caso,¿el predicado no seria el mismo?

Eso que dices, aunque sea inteligible y nos valga para "razonar por casa", rompe por completo toda la teoría construida sobre el alfabeto de símbolos que requiere el cálculo de predicados. Un dominio de interpretación precisa definir los objetos sobre los que estamos tratando, y cualquier "letra" de variable, es susceptible de tomar cualquier valoración dentro de la interpretación. Son las reglas del juego, una letra de variable no entiende de interpretaciones parciales o cambiantes, para eso están los predicados.
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« Respuesta #5 : 14/01/2018, 07:58:17 am »

Argentinator y Fernando te están respondiendo a partir de la forma más sensata y razonable de entender estas cosas, pero, por desgracia, muchos de los autores de libros de lógica pertenecen a una categoría que no suele tener la sensatez como una de sus virtudes, y creen que, cuanto más se retuerce algo, más profundo es.

Así, es posible —aunque sólo sirva para liarlo todo— asignar un dominio de interpretación distinto a cada variable. Esto puede hacerse de tres formas: chapuceramente, sintácticamente y semánticamente. Sería importante saber con cuál de ellas te están liando a ti.

La primera forma tiene a su vez infinitas variantes que seguro que superan mi capacidad de imaginación para abarcarlas todas.

Sintácticamente, lo más sencillo es adoptar el convenio de que cuando decimos que una variable [texx]x[/texx] tiene un dominio de interpretación asociado a un relator [texx]R(x)[/texx], simplemente estamos adoptando el convenio de que cuando escribimos [texx]\forall x\, P(x)[/texx], en realidad esto hay que entenderlo como [texx]\forall x(R(x)\rightarrow P(x))[/texx] y que, cuando escribimos  [texx]\exists x\, P(x)[/texx], en realidad esto hay que entenderlo como [texx]\exists x(R(x)\land P(x))[/texx].

Si es así como te han introducido los dominios de interpretación, entonces las dos fórmulas que presentas son equivalentes por definición. Es cierto lo que dice argentinator, que no es posible pasar de una a otra mediante reglas de inferencia, pero no hay necesidad, porque lo que sucede es que ambas fórmulas son la misma fórmula escrita de dos formas distintas.

Semánticamente, decir que cada variable tiene un dominio de interpretación significa adoptar el convenio de que, al considerar un modelo del lenguaje formal, se exige que las valoraciones asignen a cada variable un elemento de su propio dominio de interpretación. Visto así, las dos fórmulas que presentas también son equivalentes, pero no en el sentido sintáctico de que se pueda pasar de una a otra mediante reglas de inferencia, sino en el sentido semántico de que una es verdadera en un modelo si y sólo si lo es la otra.

Como dice Fernando, hacer así las cosas rompe las reglas de juego usuales, lo cual no impide que esta noción de equivalencia semántica pudiera convertirse en una equivalencia sintáctica desarrollando un cálculo deductivo distinto del usual (en el que están pensando tanto Fernando como argentinator) que tenga en cuenta esta asignación semántica de dominios de interpretación, cosa que tal vez se pueda hacer de algún modo más o menos elegante, pero —la verdad— nunca he considerado útil perder el tiempo en averiguar cómo.

Lo único que hay de sensato por debajo de todo esto es que, entre las costumbres de algunos matemáticos, está el convenir en que, en algunos contextos" algún tipo de letras se restringe a algún tipo de objetos, como "convenimos en que las letras griegas representarán siempre números reales", pero para formalizar esta clase de convenios, lo más sencillo es adoptar el punto de vista sintáctico que he explicado antes, y en tal caso estamos ante algo trivial que no requiere introducir siquiera el concepto de dominio de interpretación.
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« Respuesta #6 : 14/01/2018, 02:53:24 pm »

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« Respuesta #7 : 14/01/2018, 03:29:39 pm »



con las aclaraciones de los dominios de interpretación, creo que los dos predicados serian iguales. si esto es cierto¿Cual elegirian y por qué?

Creo que no había terminado de leer completamente el post, pues pregunta cuál formulación elegirías.

Primero que nada, no me parece correcto decir que los dos predicados son iguales.
Lo único que resulta siendo igual es la conclusión final para la interpretación concreta de los perros y los conejos, es decir, que "los perros cazan a los conejos".

No sé si pueda elegir una u otra.
Probablemente elegiría ambas, para estudiarlas y compararlas entre sí.
De hecho, creo que elegiría la primera forma, que es más sintáctica, dado que me permite aislar mejor los componentes de mi propio razonamiento, y a ver si estoy razonando bien, independientemente de la interpretación dada a los símbolos.
Es decir, al pensar en "x" e "y", estaría razonando limpiamente, sin riesgo de introducir prejuicios acerca de "perros" y "conejos", que podrían ensuciar el razonamiento.

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« Respuesta #8 : 14/01/2018, 04:47:59 pm »

Tres respuestas distintas, y las tres correctas. 
La Lógica está sobrevalorada.

La lógica es una de las ramas de la matemática que menos estandarizada está. Todos definen igual lo que es un anillo, o una derivada (es verdad que a veces un mismo concepto admite definiciones equivalentes, pero las diferencias responden a diferentes enfoques o aproximaciones al concepto), mientras que en los libros de lógica es frecuente que las definiciones y convenios que adopta un autor se parezcan en poco a los que adopta otro, aunque al final vengan a ser lo mismo, y no por razones de enfoques diferentes, sino porque cada cual adopta una opción entre muchas igualmente válidas, ni mejores ni peores por nada en particular (bueno, a veces sí que pueden llegar a ser mucho peores).

Tampoco me había fijado yo en lo de "cuál elegiría", pero lo he respondido implícitamente: la primera forma indiscutiblemente mejor que la segunda y, desde luego, mucho más acorde a lo que, pese a lo que acabo de decir, se acerca más a lo que podríamos llamar un enfoque estándar de la lógica matemática.
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« Respuesta #9 : 14/01/2018, 09:24:03 pm »

Tres respuestas distintas, y las tres correctas. 
La Lógica está sobrevalorada.

La lógica es una de las ramas de la matemática que menos estandarizada está. Todos definen igual lo que es un anillo, o una derivada (es verdad que a veces un mismo concepto admite definiciones equivalentes, pero las diferencias responden a diferentes enfoques o aproximaciones al concepto), mientras que en los libros de lógica es frecuente que las definiciones y convenios que adopta un autor se parezcan en poco a los que adopta otro, aunque al final vengan a ser lo mismo, y no por razones de enfoques diferentes, sino porque cada cual adopta una opción entre muchas igualmente válidas, ni mejores ni peores por nada en particular (bueno, a veces sí que pueden llegar a ser mucho peores).
 

Tendría que haber agregado una carita feliz  :sonrisa_amplia: para indicar que estaba tomando la cosa con humor.
No pretendía polemizar.
Pero igual es cierto lo que decís, lo he podido comprobar leyendo distintos autores clásicos.
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