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Autor Tema: Problema con Transformación Lineal Autoadjunta.  (Leído 366 veces)
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Retseilop
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« : 12/01/2018, 07:09:48 pm »

Hola.  :sonrisa_amplia:

se me plantea este problema:

Sea [texx] S : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 [/texx] una transformación lineal autoadjunta con sólo dos valores propios distintos [texx] λ_1 [/texx] y [texx] λ_2 [/texx]  que verifican [texx] 0 < λ_1 < λ_2[/texx]  y [texx]  dim(S_{λ_1})=1[/texx]
También se sabe que :

1- [texx]S(1,0,1) = (1,0,1) [/texx]

2- [texx] Dim(N(S-I)) = 1[/texx]

3- [texx]Det(S)= 4 [/texx]

Hallar [texx]S(1,2,3)[/texx]
 

De los datos que me dan pude hallar el valor propio 1 y gracias al dato 2 saber que tiene multiplicidad algebraica igual a 1.
Con el dato 3 puedo sacar el segundo valor propio usando que [texx]λ_1 . λ_2 =4[/texx] entonces [texx]λ_2 =4[/texx].

Luego usando que S es autoadjunta:

[texx] <S(1,0,1) , (1,2,3)> = <(1,0,1) , S(1,2,3)> [/texx]

planteando que [texx]S(1,2,3)= (x,y,z)[/texx] genérico, obtuve la restricción x+z=4

no tengo idea de si esto está bien o de como seguir desde este punto.  :BangHead:

saludos! :sonrisa_amplia:


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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/01/2018, 07:57:16 pm »

Hola

Hola.  :sonrisa_amplia:

se me plantea este problema:

Sea [texx] S : [/texx]   [texx] R^3 \rightarrow R^3 [/texx] una transformacion lineal autoadjunta con sólo dos valores propios distintos [texx] λ_1 [/texx] y [texx] λ_2 [/texx]  que verifican [texx] 0 < λ_1 < λ_2[/texx]  y [texx]  dim(S_{λ_1})=1[/texx]
Tambien Se sabe que :

1- [texx]S(1,0,1) = (1,0,1) [/texx]

2- [texx] Dim(N(S-I)) = 1[/texx]

3- [texx]Det(S)= 4 [/texx]

Hallar [texx]S(1,2,3)[/texx]
 

De los datos que me dan pude hallar el valor propio 1 y gracias al dato 2 saber que tiene multiplicidad algebraica igual a 1.
Con el dato 3 puedo sacar el segundo valor propio usando que [texx]λ_1 . λ_2 =4[/texx] entonces [texx]λ_2 =4[/texx].

Esto último no está bien; ten en cuenta que una aplicación autoadjunta siempre diagonaliza; por tanto la suma de las multiplicidades  algebraicas (o geométricas: son las mismas por diagonalizar) coincide con la dimensión del espacio.

Entonces dado que [texx]\lambda_1[/texx] tienen multiplicidad uno (nos lo dicen), [texx]\lambda_2[/texx] tiene multiplicidad [texx]2[/texx] y en realidad el determinante es:

[texx]4=\lambda_1\cdot \lambda_2^2[/texx]

Como [texx]0<\lambda_1<\lambda_2[/texx] deducimos que [texx]\lambda_2=2[/texx].

Cita
Luego usando que S es autoadjunta:

[texx] <S(1,0,1) , (1,2,3)> = <(1,0,1) , S(1,2,3)> [/texx]

planteando que [texx]S(1,2,3)= (x,y,z)[/texx] genérico, obtuve la restricción x+z=4

Eso está bien. Pero por ser autoadjunta sabes que los autovectores asociados a [texx]\lambda_2[/texx] son ortogonales a los asociados a [texx]\lambda_1[/texx].

Entonces si descompones [texx](1,2,3)=\vec u+\vec v[/texx] donde [texx]\vec u[/texx] es la proyección ortogonal sobre [texx]S_{\lambda_1}
[/texx], tendrás que_

[texx]S(1,2,3)=S(\vec u)+S(\vec v)=1\cdot u +2\cdot v[/texx]

Termina...

Saludos.
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« Respuesta #2 : 13/01/2018, 03:15:30 pm »

Hola, gracias por responder. :sonrisa_amplia:

Lo logro seguir pero no puedo terminar el problema, me pierdo en un mar de cuentas que no se si llegan a algo o no...  :BangHead:
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 13/01/2018, 03:43:53 pm »

Mas o menos "isomorfo" a lo dicho por Luis, tenemos [texx]V_{\lambda_2}=\left(V_{\lambda_1}\right)^\perp{}[/texx] por tanto [texx]V_{\lambda_2}\equiv x+z=0[/texx] que te proporciona la base de [texx]V_{\lambda_2}[/texx]: [texx]\left\{{(0,1,0),(-1,0,1)}\right\}[/texx]. Una base de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] es por tanto:

          [texx]\left\{{(1,0,1),(0,1,0),(-1,0,1)}\right\}.[/texx]

Expresa

          [texx](1,2,3)=\alpha_1(1,0,1)+\alpha_2(0,1,0)+\alpha_3(-1,0,1).[/texx]

Entonces,

          [texx]S(1,2,3)=\alpha_1S(1,0,1)+\alpha_2S(0,1,0)+\alpha_3S(-1,0,1)[/texx]
                        [texx]=\alpha_1(1,0,1)+\alpha_2(0,2,0)+\alpha_3(-2,0,2).[/texx]

Ahora, tu única misión  :sonrisa:, es hallar los [texx]\alpha_i[/texx] vía un sencillo sistema.
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Retseilop
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« Respuesta #4 : 13/01/2018, 04:34:49 pm »

Genial! ahora si quedo todo claro, gracias a ambos.  Aplauso

La respuesta es [texx] S(1,2,3)= (0,4,4)[/texx].
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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 13/01/2018, 04:56:10 pm »

La respuesta es [texx] S(1,2,3)= (0,4,4)[/texx].

Correcto.
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