Hola
Hola.
se me plantea este problema:
Sea [texx] S : [/texx] [texx] R^3 \rightarrow R^3 [/texx] una transformacion lineal autoadjunta con sólo dos valores propios distintos [texx] λ_1 [/texx] y [texx] λ_2 [/texx] que verifican [texx] 0 < λ_1 < λ_2[/texx] y [texx] dim(S_{λ_1})=1[/texx]
Tambien Se sabe que :
1- [texx]S(1,0,1) = (1,0,1) [/texx]
2- [texx] Dim(N(S-I)) = 1[/texx]
3- [texx]Det(S)= 4 [/texx]
Hallar [texx]S(1,2,3)[/texx]
De los datos que me dan pude hallar el valor propio 1 y gracias al dato 2 saber que tiene multiplicidad algebraica igual a 1.
Con el dato 3 puedo sacar el segundo valor propio usando que [texx]λ_1 . λ_2 =4[/texx] entonces [texx]λ_2 =4[/texx].
Esto último no está bien; ten en cuenta que una aplicación autoadjunta siempre diagonaliza; por tanto la suma de las multiplicidades algebraicas (o geométricas: son las mismas por diagonalizar) coincide con la dimensión del espacio.
Entonces dado que [texx]\lambda_1[/texx] tienen multiplicidad uno (nos lo dicen), [texx]\lambda_2[/texx] tiene multiplicidad [texx]2[/texx] y en realidad el determinante es:
[texx]4=\lambda_1\cdot \lambda_2^2[/texx]
Como [texx]0<\lambda_1<\lambda_2[/texx] deducimos que [texx]\lambda_2=2[/texx].
Luego usando que S es autoadjunta:
[texx] <S(1,0,1) , (1,2,3)> = <(1,0,1) , S(1,2,3)> [/texx]
planteando que [texx]S(1,2,3)= (x,y,z)[/texx] genérico, obtuve la restricción x+z=4
Eso está bien. Pero por ser autoadjunta sabes que los autovectores asociados a [texx]\lambda_2[/texx] son ortogonales a los asociados a [texx]\lambda_1[/texx].
Entonces si descompones [texx](1,2,3)=\vec u+\vec v[/texx] donde [texx]\vec u[/texx] es la proyección ortogonal sobre [texx]S_{\lambda_1}
[/texx], tendrás que_
[texx]S(1,2,3)=S(\vec u)+S(\vec v)=1\cdot u +2\cdot v[/texx]
Termina...
Saludos.
