Lema del Promedio

[Paralipómena]

Hola, ¿cómo están?

Estoy tratando de mostrar la siguiente proposición conocida como Lema del Promedio:

Sea [texx]f\in\mathcal{L}^{1}(X,S,\mu)[/texx] tal que [texx]\left|\frac{1}{\mu(E)}\int_{E}fd\mu\right|\leq k[/texx] con [texx]k\geq 0[/texx] constante, para todo [texx]E\in S[/texx] con [texx]0<\mu(E)<+\infty.[/texx] Entonces [texx]|f|\leq k[/texx] casi donde sea relativa a [texx]\mu.[/texx]

Lo que me gustaría mostrar es que [texx]\mu(f^{-1}(\mathbb{R}/[-k,k]))=0.[/texx] Para ello, considérese una sucesión disjunta de intervalos [texx]\{I_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}[/texx] cuya unión es [texx]\mathbb{R}/[-k,k].[/texx]

Supóngase que [texx]\mu(f^{-1}(\mathbb{R}/[-k,k]))>0.[/texx] Entonces existe [texx]n\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]\mu(f^{-1}(I_{n}))>0.[/texx] Luego, existe un intervalo compacto [texx][\alpha,\beta]\subset I_{n}[/texx] tal que [texx]\mu(f^{-1}([\alpha,\beta]))>0.[/texx]

Entonces, existe [texx]E=f^{-1}([\alpha,\beta])\in S[/texx]  con [texx][\alpha,\beta]\subset\mathbb{R}/[-k,k][/texx] tal que [texx]\alpha\leq\frac{1}{\mu(E)}\int_{E}fd\mu\leq\beta[/texx] lo cual es una contradicción.

El argumento expuesto arriba me parece un tanto intuitivo salvo por lo siguiente: ¿por qué es posible asegurar la existencia del compacto [texx][\alpha,\beta][/texx] cuya imagen inversa tiene medida positiva?

También, se da como sugerencia mostrar que si [texx]f\in\mathcal{L}^{1}(X,S,\mu)[/texx] entonces [texx]\mu(\{x\in X:|f(x)|>\alpha\})<+\infty[/texx] para todo [texx]\alpha>0[/texx] pero no logro mostrar esto.

¿Hay alguna forma más fácil de mostrar la proposición?

Aquí [texx]\mathcal{L}^{1}(X,S,\mu)[/texx] denota el conjunto de todas las funciones [texx]S-[/texx]medibles e integrables.

Cualquier tipo de ayuda es agradecida de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy tratando de mostrar la siguiente proposición conocida como Lema del Promedio:

Sea [texx]f\in\mathcal{L}^{1}(X,S,\mu)[/texx] tal que [texx]\left|\frac{1}{\mu(E)}\int_{E}fd\mu\right|\leq k[/texx] con [texx]k\geq 0[/texx] constante, para todo [texx]E\in S[/texx] con [texx]0<\mu(E)<+\infty.[/texx] Entonces [texx]|f|\leq k[/texx] casi donde sea relativa a [texx]\mu.[/texx]

Lo que me gustaría mostrar es que [texx]\mu(f^{-1}(\mathbb{R}/[-k,k]))=0.[/texx] Para ello, considérese una sucesión disjunta de intervalos [texx]\{I_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}[/texx] cuya unión es [texx]\mathbb{R}/[-k,k].[/texx]

Supóngase que [texx]\mu(f^{-1}(\mathbb{R}/[-k,k]))>0.[/texx] Entonces existe [texx]n\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]\mu(f^{-1}(I_{n}))>0.[/texx] Luego, existe un intervalo compacto [texx][\alpha,\beta]\subset I_{n}[/texx] tal que [texx]\mu(f^{-1}([\alpha,\beta]))>0.[/texx]

Entonces, existe [texx]E=f^{-1}([\alpha,\beta])\in S[/texx]  con [texx][\alpha,\beta]\subset\mathbb{R}/[-k,k][/texx] tal que [texx]\alpha\leq\frac{1}{\mu(E)}\int_{E}fd\mu\leq\beta[/texx] lo cual es una contradicción.

El argumento expuesto arriba me parece un tanto intuitivo salvo por lo siguiente: ¿por qué es posible asegurar la existencia del compacto [texx][\alpha,\beta][/texx] cuya imagen inversa tiene medida positiva?

Pero es que no acabo de entender la filosofía de esa prueba. La cuestión clave sería justificar que [texx]\mu (E)<+\infty[/texx] para poder usar la hipótesis y eso no lo haces en ningún lado.

También, se da como sugerencia mostrar que si [texx]f\in\mathcal{L}^{1}(X,S,\mu)[/texx] entonces [texx]\mu(\{x\in X:|f(x)|>\alpha\})<+\infty[/texx] para todo [texx]\alpha>0[/texx] pero no logro mostrar esto.

Si [texx]\mu(F)=\infty[/texx] con [texx]F=\{x\in X:|f(x)|>\alpha\}[/texx] entonces:

[texx]\displaystyle\int_{X}|f|d\mu\geq \displaystyle\int_{F}|f|d\mu\geq \displaystyle\int_{F}\alpha d\mu=+\infty[/texx]

y entonces [texx]f[/texx] no está en [texx]L^1[/texx].

Ahora probamos lo que nos piden por reducción al absurdo. En caso contrario tendríamos que:

 [texx]\infty>\mu(\{x\in X:|f(x)|>k\})>0[/texx]

Ahora como [texx]\underbrace{\{x\in X:f(x)>k\}}_{E^+}\cup \underbrace{\{x\in X:f(x)<-k\}}_{E^-}=\{x\in X:|f(x)|>k\}[/texx], uno de esos dos conjuntos tiene medida finita no nula.

- si [texx]0<\mu(E^+)<\infty[/texx] entonces:

[texx]\dfrac{1}{\mu(E^+)}\displaystyle\int_{E^+}fd\mu>k[/texx]

lo cual contradice la hipótesis.

- si [texx]0<\mu(E^-)<\infty[/texx] entonces:

[texx]\dfrac{1}{\mu(E^-)}\displaystyle\int_{E^-}fd\mu<-k[/texx]

lo cual contradice la hipótesis.

Saludos.

[Paralipómena]

Hola

Estoy tratando de mostrar la siguiente proposición conocida como Lema del Promedio:

Sea [texx]f\in\mathcal{L}^{1}(X,S,\mu)[/texx] tal que [texx]\left|\frac{1}{\mu(E)}\int_{E}fd\mu\right|\leq k[/texx] con [texx]k\geq 0[/texx] constante, para todo [texx]E\in S[/texx] con [texx]0<\mu(E)<+\infty.[/texx] Entonces [texx]|f|\leq k[/texx] casi donde sea relativa a [texx]\mu.[/texx]

Lo que me gustaría mostrar es que [texx]\mu(f^{-1}(\mathbb{R}/[-k,k]))=0.[/texx] Para ello, considérese una sucesión disjunta de intervalos [texx]\{I_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}[/texx] cuya unión es [texx]\mathbb{R}/[-k,k].[/texx]

Supóngase que [texx]\mu(f^{-1}(\mathbb{R}/[-k,k]))>0.[/texx] Entonces existe [texx]n\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]\mu(f^{-1}(I_{n}))>0.[/texx] Luego, existe un intervalo compacto [texx][\alpha,\beta]\subset I_{n}[/texx] tal que [texx]\mu(f^{-1}([\alpha,\beta]))>0.[/texx]

Entonces, existe [texx]E=f^{-1}([\alpha,\beta])\in S[/texx]  con [texx][\alpha,\beta]\subset\mathbb{R}/[-k,k][/texx] tal que [texx]\alpha\leq\frac{1}{\mu(E)}\int_{E}fd\mu\leq\beta[/texx] lo cual es una contradicción.

El argumento expuesto arriba me parece un tanto intuitivo salvo por lo siguiente: ¿por qué es posible asegurar la existencia del compacto [texx][\alpha,\beta][/texx] cuya imagen inversa tiene medida positiva?

Pero es que no acabo de entender la filosofía de esa prueba. La cuestión clave sería justificar que [texx]\mu (E)<+\infty[/texx] para poder usar la hipótesis y eso no lo haces en ningún lado.

También, se da como sugerencia mostrar que si [texx]f\in\mathcal{L}^{1}(X,S,\mu)[/texx] entonces [texx]\mu(\{x\in X:|f(x)|>\alpha\})<+\infty[/texx] para todo [texx]\alpha>0[/texx] pero no logro mostrar esto.

Si [texx]\mu(F)=\infty[/texx] con [texx]F=\{x\in X:|f(x)|>\alpha\}[/texx] entonces:

[texx]\displaystyle\int_{X}|f|d\mu\geq \displaystyle\int_{F}|f|d\mu\geq \displaystyle\int_{F}\alpha d\mu=+\infty[/texx]

y entonces [texx]f[/texx] no está en [texx]L^1[/texx].

Ahora probamos lo que nos piden por reducción al absurdo. En caso contrario tendríamos que:

 [texx]\infty>\mu(\{x\in X:|f(x)|>k\})>0[/texx]

Ahora como [texx]\underbrace{\{x\in X:f(x)>k\}}_{E^+}\cup \underbrace{\{x\in X:f(x)<-k\}}_{E^-}=\{x\in X:|f(x)|>k\}[/texx], uno de esos dos conjuntos tiene medida finita no nula.

- si [texx]0<\mu(E^+)<\infty[/texx] entonces:

[texx]\dfrac{1}{\mu(E^+)}\displaystyle\int_{E^+}fd\mu>k[/texx]

lo cual contradice la hipótesis.

- si [texx]0<\mu(E^-)<\infty[/texx] entonces:

[texx]\dfrac{1}{\mu(E^-)}\displaystyle\int_{E^-}fd\mu<-k[/texx]

lo cual contradice la hipótesis.

Saludos.

Hola Luis. Gracias por responder.

En efecto, como dices, no ocupé en ningún lado que [texx]\mu(E)<+\infty.[/texx] Sólo lo supuse por la sugerencia que me daban pero no lograba mostrarlo. Gracias por ello. En cuanto a la contradicción que llegaba era que no se satisfacía tal desigualdad para la [texx]k\geq 0[/texx] que se daba por hipótesis. Sin embargo, la demostración que das me parece mucho mejor pues es completamente transparente.

Una vez más gracias por tu ayuda.

Saludos.