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Autor Tema: Problema sobre el Teorema de Hahn-Banach  (Leído 325 veces)
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mathlife
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« : 10/01/2018, 05:34:36 pm »

Hola, llevo un tiempo con un problema sobre el Teorema de Hahn-Banach, que no consigo resolver y agradecería si alguien pudiera ayudarme:

Sea  [texx]X[/texx] un espacio normado real , [texx]f,g\in{X^*}[/texx] ([texx]\|f\|=\|g\|=1[/texx]) y   [texx]0<r\leq1[/texx]  tal que  [texx]|f(x)|\leq{r} [/texx]   [texx]\forall{x\in{\ker(g)}},\|x\|\leq{1}.[/texx]
Se pide probar que o bien [texx] \|f-g\|\leq{2r}[/texx] o bien [texx]\|f+g\|\leq{2r}[/texx].

He de decir que este problema tambíen lo pregunté en el foro math.stackexchange.com (https://math.stackexchange.com/questions/2591888/problem-about-hahn-banach-theorem) aunque solamente conseguí una respuesta ''aproximada''. Desde que me dieron esa respuesta he estado intentando ''adaptarla'' para poder probar este ejercicio, pero no he conseguido resolverlo.

Espero que alguien pueda ayudarme. Gracias de antemano.
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« Respuesta #1 : 10/01/2018, 10:57:46 pm »

Hola mathlife, bonito problema.

La solución que da David C. Ullrich es correcta y señala todos los pasos que hay que seguir.  Voy a escribirla acá para que sea más fácil ir citando el mensaje y que vayas preguntando si quedan dudas.

1.
Cita
Let [texx]Z[/texx] be the kernel of [texx]g[/texx]. We have [texx]\|f|_Z∥\leq r[/texx], so Hahn-Banach shows that there exists [texx]F[/texx] with [texx]F|_Z=f_|Z[/texx] and [texx]\|F\|\leq r[/texx].

Es sólo aplicar el Teorema de Hahn--Banach.


2.
Cita
Now [texx]F-f[/texx] vanishes on the kernel of [texx]g[/texx], so there exists [texx]c[/texx] with [texx]F-f=cg[/texx].

Esto en sí es también un bonito problema. Si dos funcionales coinciden en el kernel de uno de ellos, entonces son iguales salvo ese escalar [texx]c[/texx]. ¿Intentaste probarlo? ¿Tienes dudas con esto?


3.
Cita
Note that [texx]|c|=\|F−f\|\leq 1+r[/texx].

Teníamos que [texx]\|F\|\leq r[/texx] y [texx]\|g\|=\|f\|= 1[/texx], así que es sólo aplicar la desigualdad triangular.


4.
Cita
If [texx]0\leq c\leq 1+r[/texx] then [texx]\|f+g\|≤\|f+cg\|+|c-1|\leq r+1[/texx].

¿Puedes verificarlo?



Analiza cada paso y cuéntanos donde tienes dudas.
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« Respuesta #2 : 11/01/2018, 05:45:23 am »

Hola, en primer lugar gracias por tu respuesta. Sin embargo, esa demostración sí que la entiendo pero no es a lo que queremos llegar ya que , como puedes ver en mi primer mensaje, nuestro objetivo es llegar a que o bien [texx] ||f-g||\leq{2r}[/texx] o  bien [texx] ||f+g||\leq{2r}[/texx], y con esa demostración sólo conseguimos que o bien [texx] ||f-g||\leq{1+r}[/texx] o bien [texx] ||f+g||\leq{1+r}[/texx], que es una tesis más débil que la de nuestro problema porque  [texx]0<r\leq{1}[/texx].
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mathtruco
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« Respuesta #3 : 11/01/2018, 10:57:44 pm »

Tienes razón mathlife, me preocupé de revisar si los pasos eran correctos y perdí de vista tu pregunta.

No veo como mejorar la respuesta a partir de lo que tenías. Seguiré pensando en la pregunta, y si veo como hacerlo te cuento.

Sigue abierta la pregunta original.
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mathlife
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« Respuesta #4 : 12/01/2018, 06:21:42 am »

Gracias por tu colaboración mathtruco,he encontrado un libro que , aunque no trae la solución del ejercicio, sí que trae una indicación que es la siguiente :
Considerar una extensión Hahn-Banach de la restricción de [texx]f[/texx] a [texx]ker(g)[/texx]

Yo seguiré intentándolo, a ver si entre todos llegamos a resolverlo.
Un saludo.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 12/01/2018, 09:13:00 pm »

Hola

Gracias por tu colaboración mathtruco,he encontrado un libro que , aunque no trae la solución del ejercicio, sí que trae una indicación que es la siguiente :
Considerar una extensión Hahn-Banach de la restricción de [texx]f[/texx] a [texx]ker(g)[/texx]

Yo seguiré intentándolo, a ver si entre todos llegamos a resolverlo.
Un saludo.

En la prueba del math.stackexange falta explotar más que [texx]\|f\|=1.[/texx]

Entonces si [texx]F-f=cg[/texx]:

[texx]|c|=\|cg\|=\|F-f\|\geq |\|f\|-\|F\||=1-\|F\|\geq 1-r[/texx]

Es decir:

[texx]1-r\leq |c|\leq 1+r[/texx]

y por tanto, o bien [texx]|c-1|\leq r[/texx] ó bien [texx]|c+1|\leq r[/texx] y se completa la prueba.

Saludos.
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