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Autor Tema: Continuidad y extensión de la función.  (Leído 264 veces)
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Geraldine____
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« : 10/01/2018, 11:52:41 am »

G3-S2:

4. ¿Existe el límite en el origen de cada una de las siguientes funciones?
a) [texx]f(x,y)=\frac{x}{(x^2+y^2)^{1/2}}[/texx]
b) [texx]g(x,y)=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{1/2}}[/texx]
c) [texx]h(x,y)=\frac{x^3}{(x^2+y^2)^{1/2}}[/texx]
¿Para cuáles de estas funciones podría extenderse la definición al (0,0) de manera que resulten continuas? Justificar en cada caso.

El límite de a) no existe. Por ende no puede extenderse.
El límite de b) y c) es cero. Es una discontinuidad evitable por que tiene límite en el punto pero la función no está definida en ese punto. Por ende se puede redefinir.

¿Está bien eso?

_____________________________________
7. En cada uno de los siguientes casos, la función dada no está definida en el origen. ¿Se puede lograr extender la función con continuidad en todo [texx]ℝ^2[/texx], definiendola de manera adecuada en (0,0)? En caso afirmativo, hágalo, en caso negativo, justifique por qué no.

a) [texx]f(x,y)=xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/texx]
b) [texx]g(x,y)=ln \dfrac{3x^2-x^2*y^2+3y^2}{x^2+y^2}[/texx]
c) [texx]h(x,y)=\dfrac{sen(x+y)}{x+y}[/texx]

Las tres tienen límite y se pueden redefinir.

¿Está bien?¿Y en caso de que haya una que no se puede re-definir por qué sería?¿Por el límite que no existe?¿Y por algo más?
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Creo que es así.
Geraldine.
Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 10/01/2018, 12:27:42 pm »

Hola

G3-S2:

4. ¿Existe el límite en el origen de cada una de las siguientes funciones?
a) [texx]f(x,y)=\frac{x}{(x^2+y^2)^{1/2}}[/texx]
b) [texx]g(x,y)=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{1/2}}[/texx]
c) [texx]h(x,y)=\frac{x^3}{(x^2+y^2)^{1/2}}[/texx]
¿Para cuáles de estas funciones podría extenderse la definición al (0,0) de manera que resulten continuas? Justificar en cada caso.

El límite de a) no existe. Por ende no puede extenderse.
El límite de b) y c) es cero. Es una discontinuidad evitable por que tiene límite en el punto pero la función no está definida en ese punto. Por ende se puede redefinir.

¿Está bien eso?

Está bien; pero deberías de justificar en cada caso porque existe o no existe el límite.

Cita
_____________________________________
7. En cada uno de los siguientes casos, la función dada no está definida en el origen. ¿Se puede lograr extender la función con continuidad en todo [texx]ℝ^2[/texx], definiendola de manera adecuada en (0,0)? En caso afirmativo, hágalo, en caso negativo, justifique por qué no.

a) [texx]f(x,y)=xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/texx]
b) [texx]g(x,y)=ln \dfrac{3x^2-x^2*y^2+3y^2}{x^2+y^2}[/texx]
c) [texx]h(x,y)=\dfrac{sen(x+y)}{x+y}[/texx]

Las tres tienen límite y se pueden redefinir.

El primero está bien (aunque debes de justificar porqué).

El segundo, no. El límite no existe. Analiza que ocurre por las diferentes trayectorias [texx]y=mx[/texx] cuando te aproximas al origen. Como bien indican más adelante Ignacio y Juan Pablo, si tiene límite.

El tercero bien; aunque si pretendemos extenderla a todo [texx]\mathbb{R}^2[/texx] con continuidad no sólo hay que analizar el límite en el origen, sino en todos los puntos [texx](x_0,y_0)[/texx] tales que [texx]x_0+y_0=0.[/texx] En cualquier caso el límite en esos puntos siempre es [texx]1[/texx].

Saludos.

CORREGIDO.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 10/01/2018, 02:26:52 pm »


7. En cada uno de los siguientes casos, la función dada no está definida en el origen. ¿Se puede lograr extender la función con continuidad en todo [texx]ℝ^2[/texx], definiendola de manera adecuada en (0,0)? En caso afirmativo, hágalo, en caso negativo, justifique por qué no.

a) [texx]f(x,y)=xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/texx]
b) [texx]g(x,y)=ln \dfrac{3x^2-x^2*y^2+3y^2}{x^2+y^2}[/texx]
c) [texx]h(x,y)=\dfrac{sen(x+y)}{x+y}[/texx]

Las tres tienen límite y se pueden redefinir.

El segundo, no. El límite no existe. Analiza que ocurre por las diferentes trayectorias [texx]y=mx[/texx] cuando te aproximas al origen.


El segundo también tiene límite, si no me confundo. Poniéndolo en polares,

[texx]x = r\cos\theta,\;\;y = r\sen\theta[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{r \to{}0}{\ln(3 - r^2\sen^2\theta \cos^2\theta)} = \ln 3[/texx]

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 10/01/2018, 05:04:50 pm »

Estoy con Ignacio.

Otro modo:

[texx]\dfrac{3 \cdot x^2+3 \cdot y^2 - x^2 \cdot y^2}{x^2+y^2} = \dfrac{3 \cdot (x^2+y^2) - x^2 \cdot y^2}{x^2+y^2} = [/texx]

[texx] = 3 - \dfrac{x^2 \cdot y^2}{x^2+y^2} [/texx]

Como:

[texx]\dfrac{x^2 \cdot y^2}{x^2+y^2} \leq \dfrac{x^2 \cdot (y^2+x^2)}{x^2+y^2} = x^2 [/texx] tenemos que el límite es el que propone Ignacio.
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« Respuesta #4 : 10/01/2018, 09:37:57 pm »

Luis! Estás en todos mis foros! jaja.

Gracias.


A mi también me dió [texx]ln(3)[/texx] sin usar polares.
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Creo que es así.
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« Respuesta #5 : 10/01/2018, 09:42:04 pm »

¡Uy, es verdad!


La tercera debe analizarse en más de un punto.
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Creo que es así.
Geraldine.
Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 13/01/2018, 05:02:51 am »

Hola

El segundo también tiene límite, si no me confundo. Poniéndolo en polares,

[texx]x = r\cos\theta,\;\;y = r\sen\theta[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{r \to{}0}{\ln(3 - r^2\sen^2\theta \cos^2\theta)} = \ln 3[/texx]

Si, por supuesto. Ignacio y Juan Pablo tienen razón.

Mi cabeza "leyó" [texx]3x^2-xy+3y^2[/texx] en el numerador y de ahí  mi confusión. Disculpa, Geraldine.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 13/01/2018, 11:59:35 am »

Muchas gracias.
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Creo que es así.
Geraldine.
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