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Autor Tema: Ejercicio cambio de variables  (Leído 264 veces)
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Eparoh
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« : 09/01/2018, 08:08:18 pm »

Hola a todos, tengo planteado el siguiente ejercicio sobre cambio de variables, y no consigo llegar a nada claro :/

Sea [texx]z=z(x,y)[/texx] una función de clase uno. Transformar [texx]x \frac{{\partial z}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/texx], mediante [texx]u=\frac{y}{x}[/texx], [texx]v=z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/texx], siendo la nueva función [texx]z=z(u,v)[/texx]. Hallar también la forma de [texx]z=z(x,y)[/texx].

¿Alguna idea?
La verdad es que encuentro bastante confuso todo esto sobre los cambios de variables.
Un saludo, y muchas gracias por su tiempo.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 10/01/2018, 06:20:46 am »

Hola

Hola a todos, tengo planteado el siguiente ejercicio sobre cambio de variables, y no consigo llegar a nada claro :/

Sea [texx]z=z(x,y)[/texx] una función de clase uno. Transformar [texx]x \frac{{\partial x}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/texx], mediante [texx]u=\frac{y}{x}[/texx], [texx]v=z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/texx], siendo la nueva función [texx]z=z(u,v)[/texx]. Hallar también la forma de [texx]z=z(x,y)[/texx].

¿Alguna idea?
La verdad es que encuentro bastante confuso todo esto sobre los cambios de variables.
Un saludo, y muchas gracias por su tiempo.

Supongo que es:

 [texx]x \dfrac{{\color{red}\partial z\color{black}}}{{\partial x}} + y\dfrac{{\partial z}}{{\partial y}} = z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/texx]   (*)

Por comodidad las parciales las denotaré como subíndices, es decir, por ejemplo: [texx]\dfrac{\partial z}{\partial x}=z_x[/texx]. Entonces:

[texx]z_x=z_uu_x+z_vv_x[/texx]
[texx]z_y=z_uu_y+z_vv_y[/texx]

[texx]u_x=\dfrac{-y}{x^2}[/texx]
[texx]u_y=\dfrac{1}{x}[/texx]

[texx]v_x=z_x+\dfrac{x+zz_x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}[/texx]
[texx]v_y=z_y+\dfrac{y+zz_y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}[/texx]

Por tanto:

[texx]xz_x+yz_y=x\left(\dfrac{-z_uy}{x^2}+z_v\left(z_x+\dfrac{x+zz_x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\right)+
y\left(\dfrac{z_u}{x}+z_v\left(z_y+\dfrac{y+zz_y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\right)=[/texx]

[texx]\qquad=z_v\left(xz_x+yz_y+\dfrac{x^2+y^2+z(xz_x+yz_y)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)[/texx]

Pero si se cumple (*) entonces [texx]xz_x+yz_y=v[/texx] y continuamos:

[texx]=z_v\left(v+\dfrac{x^2+y^2+zv}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=z_v\left(v+\dfrac{x^2+y^2+z^2+z\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=z_v(v+\sqrt{x^2+y^2+z^2}+z)=2vz_v[/texx]

Por tanto (*) se ha transformado en:

[texx]2vz_v=v[/texx]

de donde [texx]\color{blue}z_v=1/2\color{black}[/texx].

Saludos.

CORREGIDO
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« Respuesta #2 : 10/01/2018, 09:53:58 am »

Vaya, lo tenia casi resuelto, pero no vi una de las ultimas igualdades que planteas, y por lo engorroso que estaba resultando todo y las dudas que tenia de si era correcto, pensé que no lo seria  :avergonzado:
Respecto a la conclusión final, ¿no resultaría que [texx]v=0[/texx]?
Y, bueno, con ello, como sería posible hallar la forma de [texx]z(x,y)[/texx], porque parece ser imposible su existencia, ¿no?
Un saludo, y muchas gracias como siempre por tu ayuda.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 10/01/2018, 12:52:03 pm »

Hola

Vaya, lo tenia casi resuelto, pero no vi una de las ultimas igualdades que planteas, y por lo engorroso que estaba resultando todo y las dudas que tenia de si era correcto, pensé que no lo seria  :avergonzado:
Respecto a la conclusión final, ¿no resultaría que [texx]v=0[/texx]?
Y, bueno, con ello, como sería posible hallar la forma de [texx]z(x,y)[/texx], porque parece ser imposible su existencia, ¿no?
Un saludo, y muchas gracias como siempre por tu ayuda.

Cometí un error tonto al final.

La conclusión es [texx]z_v=1/2[/texx]. De donde:

[texx]z=\dfrac{v}{2}+f(u)[/texx]

Intenta seguir...

Saludos.

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« Respuesta #4 : 13/01/2018, 06:46:25 pm »

Llevo unos días dándole vueltas y no veo como podría obtener una expresión para la función [texx]f(u)[/texx] que me permitiera expresar [texx]z[/texx] en función de [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx]  :indeciso:
Saludos.
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« Respuesta #5 : 14/01/2018, 07:23:21 am »

Hola

Llevo unos días dándole vueltas y no veo como podría obtener una expresión para la función [texx]f(u)[/texx] que me permitiera expresar [texx]z[/texx] en función de [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx]  :indeciso:
Saludos.

Es que te queda en función de [texx]f[/texx].

Si en [texx] z=\dfrac{v}{2}+f(u)[/texx] suttuiyes [texx]v[/texx] por su valor en función de [texx]x,y,z[/texx] y despejas [texx]z[/texx] te quedará:

[texx]z=\dfrac{4f(y/x)^2-x^2-y^2}{4f(y/x)}[/texx]

donde [texx]f[/texx] tiene que ser una función que tome valores negativos.

Saludos.
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Eparoh
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« Respuesta #6 : 14/01/2018, 10:00:26 am »

Es que te queda en función de [texx]f[/texx].

Aah, vale, entonces si. Es que, lo que más me cuesta de estos ejercicios es realmente llegar a saber que me piden 
Muchas gracias por todo, como siempre, una ayuda inestimable.
Un saludo.
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