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Autor Tema: Orden de crecimiento  (Leído 705 veces)
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conchivgr
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« : 09/01/2018, 08:45:46 am »

Hola.

Sea [texx]S(r)[/texx] una función real no negativa, creciente para [texx]r_0 < r < 1[/texx] , donde [texx]r_0 > 0[/texx].

El orden [texx]k[/texx] de [texx]S(r)[/texx] se define como:

[texx]ord(S)=k=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{logS(r)}{logr}}[/texx] y definimos también el siguiente límite: [texx]C=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S(r)}{r^k}}[/texx].

Sean [texx]S_1(r)[/texx] y [texx]S_2(r)[/texx] dos funciones reales no negativas y crecientes para [texx]r_0 < r < 1, r_0 > 0[/texx].

Demostrar que si [texx]k=ord(S_1)=ord(S_2)[/texx]:

[texx]1:[/texx] Si [texx]C_1=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S_1(r)}{r^k}}=0[/texx], entonces [texx]C_2=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S_2(r)}{r^k}}=0[/texx]

[texx]2:[/texx] Si [texx]C_1=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S_1(r)}{r^k}}=\infty[/texx], entonces [texx]C_2=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S_2(r)}{r^k}}=\infty[/texx].

Gracias y besos.
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