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Autor Tema: Demostración: Derivabilidad implica continuidad en dos variables.  (Leído 449 veces)
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Geraldine____
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« : 08/01/2018, 08:29:05 pm »

G3B - EA.

8. Demuestre que si una función [texx]f(x,y)[/texx] es diferenciable en [texx](x_0,y_0)[/texx] perteneciente al [texx]Dom (f)[/texx], entonces [texx]f(x,y)[/texx] es continua en [texx](x_0,y_0)[/texx].
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Creo que es así.
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« Respuesta #1 : 09/01/2018, 06:44:57 am »

Hola

G3B - EA.

8. Demuestre que si una función [texx]f(x,y)[/texx] es diferenciable en [texx](x_0,y_0)[/texx] perteneciente al [texx]Dom (f)[/texx], entonces [texx]f(x,y)[/texx] es continua en [texx](x_0,y_0)[/texx].

Para ser sincero me cuesta entender lo que has querido hacer. Pero desde luego no está bien.


Cita
CREO:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{x_0,y_0}}{f(x,y)}=\displaystyle\lim_{(x,y) \to{x_0,y_0}}{f(x_0,y_0)}
[/texx]

Si esa primera línea pretende indicar que queremos demostrar ya está mal. Lo que hay que demostrar es que:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{x_0,y_0}}{f(x,y)}=f(x_0,y_0)[/texx]

El límite en el segundo miembro sobra.

Cita
[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{x_0,y_0}}{\frac{f(x_0+h,y_0) -f(x_0,y_0)}{h}}=\displaystyle\lim_{(x,y) \to{x_0,y_0}}{\frac{[f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)]h}{h}}=f'(x_0)*0=0[/texx]

Aquí ya no se entiende nada. Pones una [texx]h[/texx] en algún sitio, pero el límite lo sigues haciendo cuando [texx](x,y)\to (x_0,y_0)[/texx]. Si pretendías usar la derivada parcial debería de ser el límite cuando [texx]h\to 0[/texx]. Pero en ese caso no quedaría claro como se usa para probar lo que pretendemos.

La definición de diferenciabilidad en [texx]P=(x_0,y_0)[/texx] es que existe una aplicación lineal [texx]df_P[/texx] tal que:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}{}\dfrac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)}{\|(x,y)-(x_0,y_0)\|}=0[/texx]

de donde también:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}{}f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)=0[/texx]

Nota que:

[texx]df_P(x-x_0,y-y_0)=A(x-x_0)+B(x-y_0)[/texx]

y así:

[texx]|df_P(x-x_0,y-y_0)|\leq A|x-x_0|+B|y-y_0|\leq ||A|+|B||\|(x,y)-(x_0,y_0)\|[/texx]

(donde de hecho [texx]A,B[/texx] son las componentes del gradiente en [texx]P[/texx]).

Luego:

[texx]|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leq |f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|+|df_P(x-x_0,y-y_0)|<|f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|+||A|+|B||\|(x,y)-(x_0,y_0)\|[/texx]

y ambos sumandos convergen a cero cuando [texx](x,y)\to (x_0,y_0)[/texx].

Saludos.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #2 : 09/01/2018, 07:46:26 am »

8. Demuestre que si una función [texx]f(x,y)[/texx] es diferenciable en [texx](x_0,y_0)[/texx] perteneciente al [texx]Dom (f)[/texx], entonces [texx]f(x,y)[/texx] es continua en [texx](x_0,y_0)[/texx].

En Diferenciabilidad en varias variables (apartado 9) hay una demostración para el caso [texx]n[/texx] variables, que no sé si os entra en el programa. Por supuesto que la demostración que te ha proporcionado Luis, es la específica a tu pregunta.

No obstante, ese enlace te puede servir pues en los apartado del 1 al 6, se proporcionan ejemplos de útiles (en dos variables) de relaciones entre continuidad, existencia de parciales y diferenciabilidad.
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Geraldine____
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« Respuesta #3 : 10/01/2018, 12:49:26 pm »

¿En el primer paso pasaste el denominador hacia el otro lado y lo multiplicaste por cero?


Nota que:

[texx]df_P(x-x_0,y-y_0)=A(x-x_0)+B(x-y_0)[/texx]

y así:

[texx]|df_P(x-x_0,y-y_0)|\leq A|x-x_0|+B|y-y_0|\leq ||A|+|B||\|(x,y)-(x_0,y_0)\|[/texx]

¿Y acá lo convertiste en una desigualdad porque aplicaste valor absoluto?
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Creo que es así.
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« Respuesta #4 : 10/01/2018, 01:05:00 pm »

Hola

¿En el primer paso pasaste el denominador hacia el otro lado y lo multiplicaste por cero?

No exactamente. Ten en cuenta que cerca del [texx](x_0,y_0)[/texx], [texx]\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<1[/texx] y por tanto:

[texx]0\leq |f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|\leq \dfrac{|f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|}{\|(x,y)-(x_0,y_0)\|}[/texx]

Por tanto si el límite da derecha es cero, el primero también.


Cita
Nota que:

[texx]df_P(x-x_0,y-y_0)=A(x-x_0)+B(x-y_0)[/texx]

y así:

[texx]|df_P(x-x_0,y-y_0)|\leq A|x-x_0|+B|y-y_0|\leq ||A|+|B||\|(x,y)-(x_0,y_0)\|[/texx]
¿Y acá lo convertiste en una desigualdad porque aplicaste valor absoluto?

Si, es decir uso que [texx]x+y\leq |x|+|y|[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 10/01/2018, 01:16:43 pm »


 
[texx]|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leq |f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|+[/texx][texx]|df_P(x-x_0,y-y_0)|[/texx][texx]<|f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|+||A|+|B||\|(x,y)-(x_0,y_0)\|[/texx]

Y otra cosa,
¿El término en verde de dónde sale?
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Creo que es así.
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« Respuesta #6 : 10/01/2018, 01:22:44 pm »


No exactamente. Ten en cuenta que cerca del [texx](x_0,y_0)[/texx], [texx]\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<1[/texx] y por tanto:

[texx]0\leq |f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|\leq \dfrac{|f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|}{\|(x,y)-(x_0,y_0)\|}[/texx]

Por tanto si el límite da derecha es cero, el primero también.

¿Y el de la derecha es cero porque lo supusiste para probar lo que queríamos probar?
Perdón por preguntar tanto, pero las demostraciones me re cuestan.
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Creo que es así.
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« Respuesta #7 : 10/01/2018, 01:27:59 pm »

Hola


No exactamente. Ten en cuenta que cerca del [texx](x_0,y_0)[/texx], [texx]\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<1[/texx] y por tanto:

[texx]0\leq |f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|\leq \dfrac{|f(x,y)-f(x_0,y_0)-df_P(x-x_0,y-y_0)|}{\|(x,y)-(x_0,y_0)\|}[/texx]

Por tanto si el límite da derecha es cero, el primero también.

¿Y el de la derecha es cero porque lo supusiste para probar lo que queríamos probar?
Perdón por preguntar tanto, pero las demostraciones me re cuestan.

Es cero por hipótesis. Es decir, queremos probar que diferenciable implica continua.

La diferenciablidiad, que es nuestra hipótesis, significa exactamente (por deifnición) que ese límite es cero.

Saludos.
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