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Autor Tema: clasificación de discontinuidades.  (Leído 447 veces)
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« : 08/01/2018, 03:42:01 pm »


[texx]f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)} & \text{si}& x\geq{-3}\\e^{x+5} & \text{si}& x<-3\end{cases}[/texx]

[texx]En x= -1[/texx]

[texx]f(-1)= \displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)}=\displaystyle\frac{0}{0}[/texx] al darme indeterminado debo factorizar? o ya queda como que la función en [texx]f(-1)[/texx] no existe?

[texx]\displaystyle\lim_{x \to {-1+}}{\displaystyle\frac{4x^4-4x}{5(x+1)(x-2)}}=1,92[/texx]
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{-1-}}{e^{x+5}}=7,38[/texx]
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« Respuesta #1 : 08/01/2018, 03:51:20 pm »

Me equivoque en los resultados de los límites



[texx]f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)} & \text{si}& x\geq{-3}\\e^{x+5} & \text{si}& x<-3\end{cases}[/texx]

[texx]En x= -1[/texx]

[texx]f(-1)= \displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)}=\displaystyle\frac{0}{0}[/texx] al darme indeterminado debo factorizar? o ya queda como que la función en [texx]f(-1)[/texx] no existe?

[texx]\displaystyle\lim_{x \to {-1+}}{\displaystyle\frac{4x^4-4x}{5(x+1)(x-2)}}=1,92[/texx]
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{-1-}}{e^{x+5}}=7,38[/texx]

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« Respuesta #2 : 08/01/2018, 04:11:39 pm »

Hola!

En realidad no se dice que la imagen de [texx]-1[/texx], esto es, [texx]f(-1)=\textrm{indeterminado}[/texx]. Es correcto decir que no existe la imagen en ese punto. O sea, [texx]\nexists f(-1)[/texx]. No hace falta factorizar en este caso (y si querés factorizar debés tener en cuenta que habrá puntos del denominador que desaparecen, y por ende uno pensaría que tiene imagen cuando evalúas en [texx]-1[/texx], pero la realidad es que originalmente el término [texx]x+1[/texx] existía en el denominador, quitando la existencia de dicha imagen. Gracias por el mensaje robinlambada, lo vi jajajaja :risa:).

Para los límites sí hay que factorizar (el numerador), ya que se trata de un límite de la forma [texx]\dfrac{0}{0}[/texx]. Creo que el límite por izquierda está mal, ya que la primera rama son los [texx]x\geq -3[/texx]. Revisalo.

Y el de la derecha también. Además, ¿por qué escribís los resultados en decimal? Siempre conviene dejarlo como está. Para el caso del límite lateral por izquierda supongo que el [texx]7.38[/texx] viene de [texx]e^2[/texx], por lo que conviene dejarlo en forma de potencia (repito, el resultado del límite no es correcto).

Saludos
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« Respuesta #3 : 08/01/2018, 04:31:50 pm »

Hola.

[texx]f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)} & \text{si}& x\geq{-3}\\e^{x+5} & \text{si}& x<-3\end{cases}[/texx]

[texx]En x= -1[/texx]

[texx]f(-1)= \displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)}=\displaystyle\frac{0}{0}[/texx] al darme indeterminado debo factorizar? o ya queda como que la función en [texx]f(-1)[/texx] no existe?
Debes factorizar, ya que el numerador y el denominador tienen una raíz en x=-1. Ya te resolvió Ingmarov ese límite en este hilo.

[texx]\displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)}=\displaystyle\frac{4x(x+1)(x-1)}{5(x+1)(x-2)}=\displaystyle\frac{4x(x-1)}{5(x-2)}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}1}{}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to{-}1}{}\displaystyle\frac{4x(x-1)}{5(x-2)}=-\displaystyle\frac{8}{15}[/texx]
Cita


[texx]\displaystyle\lim_{x \to {-1+}}{\displaystyle\frac{4x^4-4x}{5(x+1)(x-2)}}=1,92[/texx]
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{-1-}}{e^{x+5}}=7,38[/texx]



No puedes evaluar la función [texx]\displaystyle\lim_{x \to{-1^-}}{e^{x+5}}[/texx] ni su límite en [texx]x=-1^-[/texx], ya que solo está definida para [texx]x<-3[/texx]
Hola!

En realidad no se dice que la imagen de [texx]-1[/texx], esto es, [texx]f(-1)=\textrm{indeterminado}[/texx]. Es correcto decir que no existe la imagen en ese punto. O sea, [texx]\nexists f(-1)[/texx]. No hace falta factorizar en este caso.
Editado.
Si es necesario factorizar, pues se cancelan factores, una función racional la expresión que se debe manejar es su expresión como fracción irreducible.

Saludos.

P.D: No se de donde te sale
[texx]\displaystyle\lim_{x \to {-1+}}{\displaystyle\frac{4x^4-4x}{5(x+1)(x-2)}}=1,92[/texx]
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« Respuesta #4 : 08/01/2018, 10:24:09 pm »


[texx]f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)} & \text{si}& x\geq{-3}\\e^{x+5} & \text{si}& x<-3\end{cases}[/texx]

[texx]En x= -1[/texx]

[texx]f(-1)= \displaystyle\frac{4x^3-4x}{5(x+1)(x-2)}=\displaystyle\frac{0}{0}[/texx] al darme indeterminado debo factorizar? o ya queda como que la función en [texx]f(-1)[/texx] no existe?

[texx]\displaystyle\lim_{x \to {-1+}}{\displaystyle\frac{4x^4-4x}{5(x+1)(x-2)}}=1,92[/texx]
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{-1-}}{e^{x+5}}=7,38[/texx]


La función no está definida en x = -1, y por tanto no es continua ahí. Pero tiene límite finito, [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}-1}{f(x)}=\frac{-8}{15}[/texx], por lo que la discontinuidad es evitable. Se evita definiendo expresamente [texx]f(-1) = \frac{-8}{15}[/texx]. El resultado de hacer esto es equivalente a simplificar la fracción, tras la pertinente factorización del numerador. Como ya te han comentado, en [texx]x = -1[/texx] hay que usar la definición para [texx]x \geq{} -3[/texx].

Las dos funciones, sin simplificar y simplificando el factor [texx](x+1)[/texx], son idénticas en todas partes excepto en [texx]x = -1[/texx], que la primera no está definida y la segunda si. Por ello el límite de la primera en ese punto coincide con el valor de la segunda en él.

Incluyo la gráfica de la función, muy parecida lejos de x = -1 a la de la función que pusiste al principio del otro hilo.




Saludos,


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« Respuesta #5 : 09/01/2018, 06:16:27 am »

Hola

La función no está definida en x = -1, y por tanto no es continua ahí. Pero tiene límite finito, [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}-1}{f(x)}=\frac{-8}{15}[/texx], por lo que la discontinuidad es evitable.

Ahí tengo una pequeña discrepancia (que en realidad depende de las definiciones que se manejen).

En realidad y con las definiciones más extendidas y generales de continuidad, sólo tiene sentido plantearse si una función es continua en un punto si está definida en ese punto.

Entonces si la función no está definida en [texx]x=-1[/texx], simplemente no procede estudiar la continuidad en él. Por tanto no es un punto de discontinuidad.

Otra cosa es que, dado que [texx]x=-1[/texx] pertenece a la adherencia del dominio uno pueda plantearse si la función puede extenderse con continuidad al mismo. Dado que el límite existe, si puede extenderse la función con continuidad al mismo.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 09/01/2018, 07:00:42 am »

Hola

La función no está definida en x = -1, y por tanto no es continua ahí. Pero tiene límite finito, [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}-1}{f(x)}=\frac{-8}{15}[/texx], por lo que la discontinuidad es evitable.

Ahí tengo una pequeña discrepancia (que en realidad depende de las definiciones que se manejen).

En realidad y con las definiciones más extendidas y generales de continuidad, sólo tiene sentido plantearse si una función es continua en un punto si está definida en ese punto.

Entonces si la función no está definida en [texx]x=-1[/texx], simplemente no procede estudiar la continuidad en él. Por tanto no es un punto de discontinuidad.

Otra cosa es que, dado que [texx]x=-1[/texx] pertenece a la adherencia del dominio uno pueda plantearse si la función puede extenderse con continuidad al mismo. Dado que el límite existe, si puede extenderse la función con continuidad al mismo.

Saludos.

Yo siempre maneje una definición de continuidad de este estilo:

[texx]
f(x)\textrm{ es continua en }x_0 \;\Longleftrightarrow{}\;\begin{cases}{ \exists{f(x_0)}}\\ \exists{\displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{f(x)}}\textrm{ (finito)}\\ f(x_0) = \displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{f(x)} \end{cases}[/texx]

Y en caso contrario, según la condición que falle, hay discontinuidades:

  • evitables, redefiniendo o extendiendo la función, cuando hay límite finito, pero la función no esta definida
  • de salto, cuando hay límites laterales finitos pero distintos
  • infinitas, cuando alguno de los límites laterales, o los dos, son [texx]\pm{\infty}[/texx]
  • esenciales, cuando no existe alguno de los límites laterales, ni finito ni infinito, p.e. [texx]\sen\left(\frac{1}{x}\right)[/texx]

Y es que de otra forma, ¿no podríamos decir que [texx]f(x) =\dfrac{1}{x}[/texx] es discontinua en [texx]x = 0[/texx]?

Saludos,

Corregido el [texx]\LaTeX[/texx]
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« Respuesta #7 : 09/01/2018, 07:26:05 am »

Hola

Yo siempre maneje una definición de continuidad de este estilo:

[texx]
f(x)\textrm{ es continua en }x_0 \;\Longleftrightarrow{}\;\begin{cases}{ \exists{f(x_0)}}\\ \exists{\displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{f(x)}}\textrm{ (finito)}\\ f(x_0) = \displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{f(x)} \end{cases}[/texx]

Y en caso contrario, según la condición que falle, hay discontinuidades:

  • evitables, redefiniendo o extendiendo la función, cuando hay límite finito, pero la función no esta definida
  • de salto, cuando hay límites laterales finitos pero distintos
  • infinitas, cuando alguno de los límites laterales, o los dos, son [texx]\pm{\infty}[/texx]
  • esenciales, cuando no existe alguno de los límites laterales, ni finito ni infinito, p.e. [texx]\sen\left(\frac{1}{x}\right)[/texx]

Y es que de otra forma, ¿no podríamos decir que [texx]f(x) ={1}{x}[/texx] es discontinua en [texx]x = 0[/texx]?

Supongo que quisiste decir que:

 ¿no podríamos decir que [texx]f(x) =\dfrac{1}{x}[/texx] es discontinua en [texx]x = 0[/texx]?

Yo ahí lo que diría es que [texx]f(x)[/texx] no está definida  en [texx]x=0[/texx] y no puede extenderse a tal punto con continuidad.

Pero en el fondo sé que muchos libros lo plantean como dices y ya te digo que es una cuestión de convenio. A mi me produce rechazo porque no puedo evitar pensar en la noción más general de continuidad definida en cualquier espacio topológico [texx]X[/texx]. ¡Obviamente no tiene sentido plantearse que ocurre con una función fuera de [texx]X[/texx]!.

Tal como lo has escrito, ¿[texx]\sqrt{x}[/texx] es discontinua en [texx]x=-2[/texx] y tiene ahí una discontinuidad esencial?... psss no sé si eso es muy coherente. La función [texx]\sqrt{|x|}[/texx] prolonga a la función [texx]\sqrt{x}[/texx] de manera continua en todos los reales incluyendo [texx]x=-2[/texx].

Eso se solventa tomando tu definición para puntos de la adherencia del dominio.

He ojeado algún foro en inglés y la discrepancia se reproduce.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 09/01/2018, 04:18:25 pm »


Supongo que quisiste decir que:

 ¿no podríamos decir que [texx]f(x) =\dfrac{1}{x}[/texx] es discontinua en [texx]x = 0[/texx]?

Efectivamente, lo puse 'a mano' y olvidé el \dfrac. Ahora lo corrijo.

Yo ahí lo que diría es que [texx]f(x)[/texx] no está definida  en [texx]x=0[/texx] y no puede extenderse a tal punto con continuidad.

Pero en el fondo sé que muchos libros lo plantean como dices y ya te digo que es una cuestión de convenio. A mi me produce rechazo porque no puedo evitar pensar en la noción más general de continuidad definida en cualquier espacio topológico [texx]X[/texx]. ¡Obviamente no tiene sentido plantearse que ocurre con una función fuera de [texx]X[/texx]!.

Si, supongo que también es cosa del contexto. La definición que puse es la habitual en los libros de 1º/2º de Bachillerato.

Tal como lo has escrito, ¿[texx]\sqrt{x}[/texx] es discontinua en [texx]x=-2[/texx] y tiene ahí una discontinuidad esencial?... psss no sé si eso es muy coherente. La función [texx]\sqrt{|x|}[/texx] prolonga a la función [texx]\sqrt{x}[/texx] de manera continua en todos los reales incluyendo [texx]x=-2[/texx].

Eso se solventa tomando tu definición para puntos de la adherencia del dominio.

Si, habitualmente cuando la función no está definida, se aplica solo a la frontera del dominio, de manera que pueda calcularse al menos uno de los límites laterales. En algunos textos se habla incluso de continuidad por la derecha o por la izquierda.


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