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Autor Tema: Máxima razón de cambio.  (Leído 227 veces)
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Geraldine____
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« : 06/01/2018, 07:40:09 pm »

G3B - S6:

3. Determine la máxima razón de cambio de [texx]g(x,y,z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}[/texx] en el punto(4,2,1). ¿Es esto una magnitud escalar o vectorial?

La respuesta es [texx]u_{M}=\frac{\mathop {\nabla}\limits^{\rightarrow}g(x_{0},y_{0})}{|\mathop {\nabla}\limits^{\rightarrow}g(x_{0},y_{0})|}[/texx]
o [texx]|\mathop {\nabla}\limits^{\rightarrow}g(x_{0},y_{0})|[/texx]= Valor.



¿Y por qué?

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Creo que es así.
Geraldine.
delmar
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« Respuesta #1 : 06/01/2018, 09:10:24 pm »

Hola

La razón de cambio, es una magnitud escalar y en el caso de funciones de varias variables, esta asociada a una dirección. Se define, como la razón, entre la variación de la función y la variación por unidad de distancia en la dirección dada. Esta razón es máxima en la dirección del gradiente y es igual al módulo del gradiente.

En el caso que has puesto se trata de la función g, de tres variables [texx](x,y,z)[/texx], supongo que lo que has puesto f , etc, son erratas. 
En consecuencia  el gradiente de la función g, es  [texx]\vec{\nabla}g=\frac{{\partial g}}{{\partial x}}\vec{i}+\frac{{\partial g}}{{\partial y}}\vec{j}+\frac{{\partial g}}{{\partial z}}\vec{k}[/texx], creo que puedes decir a que es igual la máxima razón de cambio, en el punto [texx](4,2,1)[/texx]

Saludos

Para demostrar por qué es la máxima razón de cambio, es conveniente utilizar el concepto de derivada direccional y a partir de ahí resulta obvia la dirección y razón de cambio máxima.
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« Respuesta #2 : 07/01/2018, 01:58:46 pm »

¿Y esto qué sería? [texx]u_{M}=\frac{\mathop {\nabla}\limits^{\rightarrow}g(x_{0},y_{0})}{|\mathop {\nabla}\limits^{\rightarrow}g(x_{0},y_{0})|}[/texx]
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Creo que es así.
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« Respuesta #3 : 07/01/2018, 04:02:16 pm »

Eso es el vector unitario de la proyección sobre el plano XY de la dirección en que la razón de cambio es máxima. Observa que es parte del gradiente y que es un vector dividido entre su magnitud, luego es un vector unitario.

Saludos
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« Respuesta #4 : 10/01/2018, 11:27:48 am »

Cierto, es verdd.

Gracias Delmar, por tu ayuda.
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Creo que es así.
Geraldine.
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